練習問題その５ (解答）問題 1. F は全単射なので、「u = v」と「F (u) = F (v)」は同値である。以下、F −1 が定義 1 の性質 (1)–(2) を満たすことを示す。 (1) 「F −1 (u1 + u2 ) = F −1 (u1 ) + F −1 (u2 )」と「F (F −1 (u1 + u2 )) = F (F −1(u1 ) + F −1 (u2 ))」は同値である。ここで、F (F −1 (u1 + u2 )) = u1 + u2 で、F が線形写像であるため、 F (F −1(u1 ) + F −1 (u2 )) = F (F −1 (u1 )) + F (F −1 (u2 )) = u1 + u2 である。よって、性質 (1) を示した。 (2) 「F −1 (cu) = cF −1 (u)」と「F (F −1 (cu) = F (cF −1 (u))」は同値である。今、 F (F −1 (cu)) = cu = cF (F −1 (u)) = F (cF −1(u)) であるので、性質 (2) が成り立つ。     1 1 1 0 ,  問題 2. B =  C= 1 0 1 0 問題 3. 基底       1 0  R = u1 =   , u2 =   ,  0 1        1 1  S = v1 =   , v2 =    1 −1  に関する恒等写像 id : R2 → R2 の表現行列   a11 a12  A= a21 a22 の成分は、次の方程式で決定される。 id(u1 ) = u1 = a11 v1 + a21 v2 id(u2 ) = u2 = a12 v1 + a22 v2 よって、 A=  1 2 1 2 が成り立つ。 1  1 2 − 12 問題 4. 基底 R と S に含まれているベクトルを、       1 1 0             u1 = 0 , u2 = 2 , u3 = 1 ;       1 2 1   1 v1 =   , 2 とすると、表現行列 A の成分は、次の方程式で決定される。      3 1 2 a   11  F (u1 ) =   = a11 v1 + a21 v2 =  4 2 3 a21      12 1 2 a   12  F (u2 ) =   = a12 v1 + a22 v2 =  17 2 3 a22      5 1 2 a   13  F (u3 ) =   = a13 v1 + a23 v2 =  8 2 3 a23 以上の連立１次方程式を解くと、  −1 −2 A= 2 7 を得る。 2 1 2     2 v2 =   3