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『公共経済学講義：理論から政策へ』
1
数学付録：2 次形式
須賀晃一［編］
c
⃝Koichi
Suga, 2014
発行所：有斐閣
2014 年 6 月 25 日初版第 1 刷発行
ISBN 978-4-641-16445-1
1
須賀晃一（編）『公共経済学講義：理論から政策へ』（有斐閣，2014 年）の【数学付録】を項目別に公
開しています。本書を読み進めて頂くに際してのご参考に，ぜひご利用下さい。
1
2 次形式
1
2 次形式と対角化
A を n 次の対称行列，xを Rn のベクトルとし，積 x′ Ax を考えよう．これを成分表示
すれば，
x′ Ax =
=
n ∑
n
∑
aij xi xj
i=1 j=1
a11 x21 +
a12 x1 x2 + · · · + a1n x1 xn
+a21 x2 x1 + a22 x22 + · · · + a2n x2 xn
············
+an1 xn x1 + an2 xn x2 + · · · + ann x2n
∑
= a11 x21 + a22 x22 + · · · + ann x2n + 2
aij xi xj
i<j
となる．これは x1 , x2 , · · · , xn に関して 2 次の同次式となっている．このような x′ Ax を
x の 2 次形式といい，
Q(x) = x′ Ax
で表わす．
[
]
1 2
例 1. A =
のとき，2 次形式 Q(x) は
2 −2
[
][ ]
1 2
x1
Q(x) = (x1 , x2 )
= x21 − 2x22 + 4x1 x2
2 −2 x2
である．
対称行列の固有値は実数である．以下では，2 次形式と固有値の関係を考察しよう．
定理 1. n 次の正方行列 A において，正則行列 P によって P −1 AP を対角行列にする (こ
れを A の対角化という) ための必要十分条件は，A が 1 次独立な n 個の固有ベクトルを持
つことである．このとき，P −1 AP の対角要素は A の固有値になる．
例 2. 例 1 において，P −1 AP を求めてみよう．
-3，[2 であるから，これに対
[A の固有値は
]
]
1
2
する固有ベクトルを求めてみると，-3 のとき s
，2 のとき t
となる．ここで s，t
−2
1
は任意の数である．いま，
[ ]
[ ]
1
2
x1 =
， x2 =
−2
1
2
とおいて，P = [x1 ，
x2 ] とすると，
[
][
][
] [
]
1
− 52 1 2
1 2
−3 0
−1
5
P AP = 2
=
1
2 −2 −2 1
0 2
5
5
を得る．
もし P が直交行列ならば，P −1 = P ′ であるから，P ′ AP を (??) の形の対角行列にする
ことができる．このとき，次の定理を得る．
定理 2. 2 次形式 Q(x) = x′ Ax に対し，正則直交行列 P をとれば，(正則)1 次変換 x = P y
によって，
x′ Ax = y ′ By = λ1 y 21 + λ2 y 22 + · · · + λn y 2n
(1)
とすることができる．ここで B = P ′ AP ，
λi
を 2 次形式の標準形という．
(i = 1, 2, · · · , n) は A の固有値である．(1)
[ 1 ]
√
x
5 ，−2 に対する固
例 3. 例 2 において，−3 に対する固有ベクトルを z 1 = ∥x11 ∥ =
− √25
[ 2 ]
√
x
2
有ベクトルを z 2 = ∥x2 ∥ = 15 とおき，P = [z 1 , z 2 ] とすると，これは直交行列となる．
√
5
[
′
P AP =
√1
5
√2
5
− √25
][
√1
5
であるから，
][ 1
√
1 2
5
2 −2 − √25
[
−3 0
Q(x) = x Ax = [y1 , y2 ]
0 2
′
√2
5
√1
5
]
[
]
−3 0
=
0 2
][ ]
y1
= −3y12 + 2y22
y2
を得る．ここで，y = P −1 x である．
この例と同様にして，n 個の 1 次独立な固有ベクトルからなる行列 [x1 , x2 , · · · , xn ] は，
z i = xi /∥xi ∥ (i =, 2, · · · , n) とおくことにより，直交行列 [z 1 , z 2 , · · · , z n ] に作り変えら
れる．この方法をシュミットの直交化法という．
2
2 次形式の符号
2 次形式 Q(x) = x′ Ax について，次の符号を定義しよう．
(1) 任意の x ̸= 0 に対して Q(x) > 0 となるとき，Q は正値または，正の定符号であると
いう．
(2) 任意の x に対して Q(x) ≥ 0 となるとき，Q は非負値または正の半定符号 (非負定符
号) という．
(3) 任意の x ̸= 0 に対して，Q(x) < 0 となるとき，Q は負値または負の定符号であると
いう．
3
(4) 任意の x に対して，Q(x) ≤ 0 となるとき，Q は非正値または負の半定符号 (非正定
符号) という．
(5) 任意の x ̸= 0 に対し，Q(x) > 0 となったり，Q(x) < 0 となったりするとき，Q は不
定値であるという．
例 4. x21 + 3x22 ，x21 − 2x1 x2 + x22 ，−x21 − x22 ，−4x21 + 4x1 x2 − x22 はそれぞれ，正値，非
負値，負値，非正値である．一方，例 1 の 2 次形式 x21 − 2x22 + 4x1 x2 は不定値である．
ところで，2 次形式において，
Q(kx) = (kx)′ A(kx) = k 2 x′ Ax = k 2 Q(x)
¯ (¯
が成立するから，x ̸= 0 に対する Q(x) の符号は，∥¯
x∥ = 1 であるような x
x = x/∥x∥)
対してのみ調べれば十分である．
定理 3. ∥x∥ = 1 の下で Q(x) = x′ Ax の最大値は A の最大固有値に，最小値は A の最小
固有値に等しい．
この定理から直ちに，次の定理が得られる．
定理 4. 2 次形式 Q(x) = x′ Ax において，A の固有値を λ1 , λ2 , · · · , λn とすると，
(i) Q が正値 ⇐⇒ λi > 0
(i = 1, 2, · · · , n)
(ii) Q が非負値 ⇐⇒ λi ≥ 0
(iii) Q が負値 ⇐⇒ λi < 0
(iv) Q が非正値 ⇐⇒ λi ≤ 0
(i = 1, 2, · · · , n)
(i = 1, 2, · · · , n)
(i = 1, 2, · · · , n)
が成立する．
[
]
4 2
例 5. 行列
の 2 次形式 4x21 + x22 + 4x1 x2 は非負値である．
2 1
以上は，標準形を利用して 2 次形式の符号を判定する方法であった．次の定理は行列式
を使ってその符号を判定する方法である．
定理 5. 2 次形式 Q(x) = x′ Ax が正値であるための必要十分条件は，A のすべての主小行
列式 |Ar | (r = 1, 2, · · · , n) が正となることである．すなわち，
a
a12 11 · · ·
a
11 a12 |A1 | = a11 > 0, |A2 | = > 0, · · · · · · , |An | = . . . . . . . . . . . . . . > 0
a21 a22 an1 · · · ann 2 次形式 x′ Ax が負値ならば x′ (−A)x は正値となるから，ただちに次の定理を得る．
4
定理 6. 2 次形式 Q(x) = x′ Ax が負値であるための必要十分条件は，主小行列式 |Ar | が
条件 (−1)r |Ar | > 0 (r = 1, 2, · · · , n) を満たすことである．すなわち，
a
a12 11 · · ·
a
11 a12 |A1 | = a11 < 0, |A2 | = > 0, · · · · · · , (−1)n |An | = (−1)n . . . . . . . . . . . . . . > 0
a21 a22 an1 · · · ann [
]
a b
例 6. 行列
の 2 次形式は ax21 + cx22 + 2bx1 x2 となる．このとき，
b c
a > 0，ac − b2 > 0 ならば正値
a < 0，ac − b2 > 0 ならば負値
となる．
最後に，x に，
b′ x = b1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn = 0,
b1 ̸= 0
(2)
という条件がついている場合に，2 次形式 Q(x) = x′ Ax の符号に関する定理を与えておく．
定理 7. 2 次形式 Q(x) = x′ Ax が b′ x = 0 という条件の下で
(i) 正値となるための必要十分条件は，|Er | < 0
(r = 2, 3, · · · , n) となることである．
(ii) 負値となるための必要十分条件は，(−1)r |Er | > 0
ある．
ここで，




Er = 



(r = 2, 3, · · · , n) となることで
0 b1 b2 · · · br
b1 a11 a12 · · · a1r
b2 a21 a22 · · · a2r
......................
br ar1 ar2 · · · arr








[
]
1 2
例 7. A =
のときの 2 次形式 Q(x) に，条件 x1 + 2x2 = 0 が付加されたとき，符
2 −2
号がどうなるかを考えよう．
0 1 2 |E2 | = 1 1 2 = 6 > 0
2 2 −2
であるから (E3 は存在しない)，2 次形式の符号は負値となる．
練習問題
１．次の行列の 2 次形式を求めよ．
5


1
2
3
1
[
]
1 −1 1
2 0 1 2
1 −2




(1)
(2) −1 1 1 (3) 

3 1 0 1
−2 4
1
1 1
1 2 1 1
２．次の行列の 2 次形式を標準形に直し，符号を判定せよ．


[
]
0 1 1
1 −2


(1)
(2) 1 0 1
−2 4
1 1 0
３．次の行列の 2 次形式の符号を，主小行列式を求めることによって判定せよ．




1 2 3 1
3
1 −2
2 0 1 2




(1)  1
(2)
3 −2


3 1 0 1
−2 −2 6
1 2 1 1


 
0 1 −1
x1


 
′
４．A =  1 0 0  で，b x = (1, −2, 3) x2  = 0 なる制約条件が付加されたときの
x3
−1 0 1
2 次形式の符号を判定せよ．


6

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