¶
³
問 −→
−→
(1) ∆OAB において，OA = ~a, OB = ~b のとき，∆OAB の面積 S を ~a, ~b で表せ．
(2) (1) を利用して，3 点 O(0, 0), A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ) を頂点とする三角形 OAB の
面積 S を a1 , a2 , b1 , b2 を用いて表せ．
µ
´
解答 (1) ∠AOB = θ (0◦ < θ < 180◦ ) とすると，
cos θ =
~a · ~b
| ~a || ~b |
と表すことができる．また sin θ > 0 より，求める面積 S は，
S =
=
=
=
=
1
| ~a || ~b | sin θ
2
p
1
| ~a || ~b | 1 − cos2 θ
2
v
Ã
!2
u
u
~b
~
a
·
1
| ~a || ~b |t1 −
2
| ~a || ~b |
q
| ~a |2 | ~b |2 − (~a · ~b)2
1
~
| ~a || b | ·
2
| ~a || ~b |
q
1
| ~a |2 | ~b |2 − (~a · ~b)2
2
と導くことができる．
−→
−→
(2) OA = ~a, OB = ~b とおくと，~a = (a1 , a2 ), ~b = (b1 , b2 ) であるから，
| ~a |2 = a21 + a22
| ~b |2 = b21 + b22
となる．また，(~a · ~b)2 = (a1 b1 + a2 b2 )2 であるから，
| ~a |2 | ~b |2 − (~a · ~b)2 = (a21 + a22 )(b21 + b22 ) − (a21 + a22 )2
= a21 b22 + a22 b21 − 2a1 b1 a2 b2
= (a1 b2 − a2 b1 )2
と計算できる．この式を (1) の結果の式に代入すると，
1p
(a1 b2 − a2 b1 )2
2
1
= | a1 b2 − a2 b1 |
2
S =
と導かれる．

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