No.10, pp19-20



 
 
a11 a12 a13
a11
a12


 
 
三次正方行列 A = a21 a22 a23  を，三つの空間ベクトル a1 = a21 , a2 = a22 ,
a31 a32 a33
a31
a32
 
a13
 
a3 = a23  を並べたものと見なす．このとき a1 , a2 , a3 の張る平行六面体 {t1 a1 +t2 a2 +t3 a3 | 0 ≤
第 3 章行列式
3.1
a33
t1 , t2 , t3 ≤ 1} の体積を求める．
a1 × a2 と a3 のなす角を φ (0 ≤ φ ≤ π) とおくと，a1 , a2 , a3 の張る平行六面体の底面積は
1,2,3 次の行列式
|a1 × a2 | であり，高さは |a3 || cos φ| であるから，求める平行六面体の体積は
行列式への導入として，まず数直線上の線分の符号付き長さ，平面上の平行四辺形の符号付き面
積，空間内の平行六面体の符号付き体積を考える．なお，幾何的な説明をするときは行列の成分は
|a1 × a2 ||a3 || cos φ| = |⟨a1 × a2 , a3 ⟩|
実数とするが，それ以外は複素数とする．
= |a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
(3.1)
− a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a11 a32 a23 |
3.1.1
符号付き長さ
となる．
一次正方行列 A = (a11 ) を数直線上の点と思えば，a11 は，原点からこの点への符号付き長さを
ここで角 φ が 0 ≤ φ < π/2 の範囲にあるとき，即ち a1 , a2 , a3 が右手系であるとき，cos φ の値
表している．
は正であり，角 φ が π/2 < φ ≤ π の範囲にあるとき，即ち a1 , a2 , a3 が左手系であるとき，cos φ
の値は負である．そのため，(3.1) から絶対値を取り除いたものは，a1 , a2 , a3 が右手系〔左手系〕
3.1.2
なら正〔負〕となるような，平行六面体の『符号付き体積』を表している．
符号付き面積
これら符号付き長さ・面積・体積を 1,2,3 次行列式と定義する．
(
)
( )
( )
a11 a12
a11
a12
二次正方行列 A =
を，二つの平面ベクトル a1 =
, a2 =
を並べた
a21 a22
a21
a22
ものと見なす．a1 から a2 へ向かう角を θ (−π < θ ≤ π) とする．このとき a1 , a2 の張る平行四
定義 3.1.1 (1,2,3 次行列式の定義) 1，2，3 次正方行列 A の行列式 (determinant) を以下のよう
に定め，det A で表す．
辺形の面積は，|a11 a22 − a21 a12 | である．ここで θ が正〔負〕の角ならば，a11 a22 − a21 a12 > 0
(1) 1 次のとき．A = (a11 ) に対し，
〔< 0〕となることがわかるので，a11 a22 − a21 a12 は平行四辺形の『符号付き面積』を表している．
det A = a11
とする．
3.1.3
符号付き体積
(2) 2 次のとき．A =
符号付き体積の計算に使うので，ベクトル積を復習しておこう．
 
 


a1
b1
a2 b3 − a3 b2
 
 


復習. R3 の二つのベクトル a = a2 , b = b2  に対し，a × b = a3 b1 − a1 b3  と置き，こ
a3
b3
れを a と b のベクトル積または外積という．
(
a11
a21
a12
a22
)
(
= a1
)
a2 に対し，
det A = a11 a22 − a21 a12
a1 b2 − a2 b1
とする．

a11

(3) 3 次のとき．A = a21
a31
ベクトル積の性質のうち，ここで使うものだけ抜き出しておこう．
(1) a × b は a, b 双方と直交する．
(2) 大きさ |a × b| は a, b が張る平行四辺形の面積に等しい．
a12
a22
a32

a13
(

a23  = a1
a33
a2
)
a3 に対し，
det A = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
− a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a11 a32 a23
(3) a, b, a × b はこの順に右手系をなす 1 ．
とする．
1 右手系・左手系を厳密に定義しようとすると話がややこしくなるので，ここでは深く考えず，素朴に受け止めて下さい．
19
a11
行列式を表す記号として，det A の他に |A|, det(a1 , a2 , a3 ), a21
a31
じて使いやすいものを用いる．
a12
a22
a32
a13 a23 等があり，状況に応
a33 注 3.1.2 2,3 次行列式の覚え方として，
『たすきがけ』があるが，これを４次以上の行列式の計算に
用いてはいけない．
この行列式を一般の n 次正方行列に対しても定義したい．符号付き体積の性質を抽出して一般
化するのが自然なのだが，ここでは標準的な順序に従って定義する．
さて，3 次行列式の公式をよく見ると，次のことが見て取れる．
(1) 3 次行列式は ai1 aj2 ak3 という形の項の和であり，i, j, k については 1, 2, 3 の並べ替え 6 通り
全てが現れている．
(2) 各項の ± は，i, j, k のうち二つずつを交換して 1, 2, 3 に並べ直すとき，交換の回数が偶数回
か奇数回かに対応している．
なお，1,2 次の行列式もこの性質を持っている．
これはかなり無理のある観察だが，実は (1), (2) の性質が満たされるように一般の n 次の行列
式を定義すると，いろいろなことがうまくいくことがわかっている．例えば符号付き体積が満たす
べき自然な性質を n 次の行列式も満たす．これについては次回述べることにし，以下並べ替えを
数学的に扱う「置換」について解説する．
3.2
置換とその符号
集合 {1, 2, . . . , n} 上の一対一変換を 1 から n の置換という．また，それら全体のなす集合を Sn
で表し，これを n 次対称群という．1 から n の置換は全部で n! 個ある．置換を表す記号として，
σ, τ などのギリシャ文字がよく使われる．
( 置換 σ が 1, 2, .). . , n をそれぞれ i1 , i2 , . . . , in に写すとき，σ(k) = ik と書き，この σ を σ =
1 2 ... n
と表す．
i1 i2 . . . in
(
)
1 2 ... n
を恒等置換といい，1n で表す．二つの置換 σ, τ の
どの文字も変えない置換
1 2 ... n
合成変換を σ と τ の積といい，στ と表す．この積は結合律 (ρσ)τ = ρ(στ ) を満たす．ただし，一
般には στ ̸= τ σ である．また，置換 σ の逆変換を σ の逆置換といい，σ −1 と表す．二つの文字
を交換し，他の文字を不変にする置換を互換といい，i と j の互換を (i, j) で表す．特に隣り合う
文字の互換 (i, i + 1) を隣接互換と呼ぶ．
命題 3.2.1 任意の置換は有限個の互換の積で表される．
20

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