8.5 微分方程式と固有値問題

化学数学-48
8.5
微分方程式と固有値問題
行列の対角化
対角行列 D = 非対角項がゼロの n 次正方行列
1) 対角項は固有値に等しい
(
D =
2) n 乗と逆行列
(
Dn =
λn1 0
0 λn2
)
λ1 0
0 λ2
)
(
,
D−1 =
0
λ−1
1
0 λ−1
2
)
行列の相似
n 次正方行列 A，B が以下の関係を満たす正則行列 P を持つこと．
相似な行列の固有値 λi は等しい．
P −1 AP = B ⇐⇒ A = P BP −1
対角化可能 = A が相似な対角行列 D を持つこと
P −1 AP = D
このとき P の各列ベクトルは固有ベクトル v i に等しい．
(
)
x1 x2
P = (v 1 v 2 ) =
y1 y2
対角化の必要十分条件 = n 個の一次独立な固有ベクトルを持つこと
(例 8.16 各自確認)
行列の対角化と微分方程式
定数係数連立 1 階線形微分方程式 (aij = 定数)
{
y1′ = a11 y1 + a12 y2 + f1 (x)
y2′ = a21 y1 + a22 y2 + f2 (x)
(
y =
y1′
y2′
)
⇐⇒ y ′ = Ay + f (x)
(
)
a11 a12
, A =
,
a21 a22
A が対角化可能な場合の解法 (n ≥ 3 も同様)
1) A の固有値 λi と固有ベクトル v i を求める
2) D，P ，P −1 が決まる
(
)
λ1 0
−1
D = P AP =
0 λ2
(
)
x1 x2
P = (v 1 v 2 ) =
,
y1 y2
(
y =
P
−1
)
y1
y2
1
=
|P |
(
,
(
f (x) =
y2 −x2
−y1
x1
)
f1 (x)
f2 (x)
)
化学数学-49
3) 方程式の書き換え
y ′ = Ay + f (x)
y ′ = P DP −1 y + f (x)
P −1 y ′ = D P −1 y + P −1 f (x)
| {z } | {z }
=z
=g (x)
z ′ = Dz + g(x)
(
)
(
)(
) (
)
z1′
λ1 0
z1
g1 (x)
=
+
z2′
0 λ2
z2
g2 (x)
{
z1′ = λ1 z1 + g1 (x)
z2′ = λ2 z2 + g2 (x)
4) 個々の方程式から z1 ，z2 を求める
5) y = P z より y1 ，y2 求まる
練習問題次の連立微分方程式の一般解を行列の対角化を利用して求めよ．



 dy1 = 3y + y
 dy1 = 2y + y




1
2
1
2
dx
dx
(1)
(2)
(3)



 dy2 = 2y1 + 2y2
 dy2 = y1 + 2y2 + e2x

dx
dx
8.6
物理・工学への応用問題
(省略 [1] と [2] 各自確認)
d2 y1
= − y1 + y2
dx2
d2 y2
= 2y1
dx2
化学数学-50
9
9.1
ベクトル解析
ベクトル場とスカラー場の違い
場 = 空間の性質
スカラー場 = 位置のスカラー関数 ϕ
ベクトル場 = 位置のベクトル関数 A
ナブラ右側にきた関数に作用する (ベクトル) 演算子
∇≡i
∇ϕ = gradϕ
∇ · A = dvA
∇ × A = rotA
∆ = ∇2 = ∇ · ∇
9.2
9.2.1
∂
∂
∂
+j
+k
∂x
∂y
∂z
勾配
発散
回転
Laplace 演算子
(9.1)
gradient
divergence
rotation
Laplacian
スカラー場 ϕ と勾配 ∇ϕ
勾配で何がわかる?
スカラー場の傾き (向きと大きさ)
(
)
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∂ϕ
+j
+k
=
,
,
∇ϕ = i
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
√( )
( )2 ( )2
2
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
+
+
|∇ϕ| =
∂x
∂y
∂z
(9.2)
(9.3)
例放物面の勾配
ϕ = ax2 + by 2 + cz 2
∇ϕ = 2axi + 2byj + 2czk = (2ax, 2by, 2cz)
√
|∇ϕ| = 2 a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2
∇(勾配) の基本公式 f (x, y, z), g(x, y, z) をスカラー場，c を定数として
∇(f + g) = ∇f + ∇g
∇(cf ) = c∇f
∇(f g) = (∇f )g + g(∇f )
( )
(∇f )g − f (∇g)
f
=
∇
g
g2
∇(ϕ(f )) = ϕ′ (f )∇f (ϕは f のスカラー関数)
勾配の幾何学的意味 (問 9.3) ある方向 r への微小変位 dr による ϕ の微小変化 dϕ
)
(
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dϕ =
dx +
dy +
dz =
+j
+k
· (idx + jdy + kdz) =
i
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
|
{z
}
=全微分
∇ϕ · dr
| {z }
=dr の ∇ϕへの射影
化学数学-51
9.2.2
等高線と等位面とポテンシャル
等位面 = ϕ = 一定の面
∇ϕ ⊥ 等位面
0
0
7
7
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
直感的な説明 ∇ϕ =
n̂ + tˆ1 + tˆ2
∂n
∂t1
∂t2
n̂ : 単位法線ベクトル, tˆ1 , tˆ2 : 一次独立な単位接線ベクトル
問 9.4 スカラー場 ϕ = 1/r の勾配
∇ϕ(f ) = ϕ′ (f )∇f より
1
ϕ(r) =
とおくと
r
1
ϕ′ (r) = − 2
r
( 2
)1
)− 1
1( 2
r
∇r = ∇ x + y 2 + z 2 2 =
x + y 2 + z 2 2 (2xi + 2yj + 2zk) =
2
r
1r
r
1
∴ ∇ϕ = − 2
= − 3 = − 2 r̂
r r
r
r
力 F とポテンシャル
F = − ∇ϕ
物理の例
1) 原点にある点電荷 Q が位置 r につくる電位 (静電ポテンシャル)
Q 1
ϕ(r) =
4πε0 r
電場 E(r) = − ∇ϕ
位置 r にある電荷 q に働く Coulomb 力
F (r) = qE(r) ∝
Qq
r2
2) 原点にある質点 M が位置 r につくる重力ポテンシャル
1
r
重力場 g(r) = − ∇ϕ(r)
ϕ(r) = − GM
位置 r にある質点 m に働く重力
F (r) = mg(r) ∝
Mm
r2
ポテンシャルと線積分
ベクトル関数 A が A = ∇ϕ で与えられる場合，線積分は経路に依らない
∫ Q
∫ Q
∫ Q
dϕ = ϕ(Q) − ϕ(P )
∇ϕ · dr =
A · dr =
P
P
ϕ: (スカラー) ポテンシャル，F = −∇ϕ: 保存力
P

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