初級線形代数学 I 演習問題

初級線形代数学 I 演習問題
2016 年 7 月 21 日 (金)
1.
ai j (i = 1, 2, j = 1, 2, 3) を実数とする。行列 A を次のように定める。
[
]
a11 a12 a13
A = [ai j ] =
.
a21 a22 a23
1. 行列 A の第 2 行を示せ。
2. 行列 A の第 4 列を示せ。
3. 行列 A の (2, 3) 成分を示せ。
2.
次の行列の積を計算せよ。


[
]
2 1
1 2 3 

1.
 −1 2 
−2 1 1
3 0
[
][
]
1 2
−2 −1
2.
3 4
−4 −3

3
1 0 0


3.  0 2 0 
0 0 3
[
][
]
1
1
n
n+1
n
n+1
4.
(n は自然数)
1
1
n+2 n+3
n+2
n+3
[
][ ]
n
n+1
1
5.
(n は自然数)
n+2 n+3
2
1
3.
掃き出し法を用いて、以下の連立 1 次方程式の解を求めよ。また対応す
る拡大係数行列の変形を示せ。

−x + 2x = 3
1
2
1.
2x1 − 3x2 = −4

2x + 4x
1
2
2.
x1 + x2

x − x
1
2
3.
x1 + x2
=1
=1
= l1
= l2
ここで l1 , l2 は適当な実数である。

3x + 3x = 0
1
2
4.
x1 + x2
=0
4.
ai j (i = 1, 2, j = 1, 2) を実数とする。 (2, 2) 行列 A を次のように定める。
[
]
a11 a12
A = [ai j ] =
.
a21 a22
もし a11 a22 − a12 a21 , 0 ならば、A の逆行列が存在して、
[
]
1
a22 −a12
−1
A =
a11 a22 − a12 a21 −a21 a11
として表される。逆行列を利用して、次の連立 1 次方程式の解を求めよ。

x + 2x
=5
1
2
1.
3x1 + 4x2 = 6

x + 1 x
1 2 2
2.
 1 x1 + 1 x2
3
4
=1
=1
2

nx + (n + 1) x
1
2
3.
 (n + 2) x1 + (n + 3) x2
(n は自然数)

1x + 1 x
1 n+1 2
4. n
 1 x1 + 1 x2
n+2
n+3
=1
=1
=1
=1
(n は自然数)
5.
(2, 2) 行列 A を次のように定める。
[
( ) ] [
( )
cos 14 π − sin 14 π
( )
( )
A=
=
sin 14 π
cos 14 π
√
√
2
√2
2
2
−√ 22
2
2
]
.
行列 A を用いた線形変換を考える。
1. 次の計算を行え。
[
]
1
0
A
これによって、行列 A の線形変換によって点 (1, 0) が移された先の座標が
求まる。得られた点と点 (1, 0) の場所を平面グラフ上で表せ。
2. 次の等式が成り立つことを示せ。
[
(1 )
(1 ) ]
cos
π
−
sin
π
( 12 )
( 12 )
A2 =
sin 2 π
cos 2 π
3. それぞれ計算せよ
[
A2
]
1
0
[
, A4
]
1
0
得られた 3 点を平面グラフ上で表せ。
3
[
, A8
]
1
0
6.
以下の行列の固有値を全て求めよ。
[
]
α
0
1.
α 100 α 2
(α は正の実数)
[
]
2 −1
2.
4 −3
[
]
1
2
−
5
5
3.
3
6
5
7.
5
(2, 2) 行列 A を次のように定める。
]
[
1 1
A=
.
1 0
1. それぞれ計算せよ。
[
A
]
1
−1
[
]
1
−1
, A2
2. 行列 A の固有値、固有ベクトルをそれぞれ求めよ。
3. 前問で求めた固有ベクトルを p1 , p2 として
[
]
P = p1 p2
とする。P−1 AP を計算せよ。
4. n を適当な自然数とする。
[
A
n
を求めよ。
4
]
1
−1
8.
以下の空欄を埋めよ。
C：お腹が減ったよ。
A：緯度 35.486、経度 133.068 にある [
] で勉強しているけ
ど、どこか行こうか。
B：無理矢理な流れだね。http://www.google.co.jp/mapsにアクセスして、
左上の検索ボックスに”35.486,133.068” と入力すると場所がわかる。
A：夏休みは、
[
][
] [
]
1.21366
0
35.486
=
0
1.06224
133.068
の場所に行こうよ。
C：
（？）
B：http://www.google.co.jp/で”1.21366*35.486” とか”1.06224*133.068”
とか入力すると、緯度と経度が計算できるよ。緯度が [
]、経
度が [
]の[
]ってことね。
C： [
] 大好き。
B：とりあえず今日は
[
][
] [
]
0.99969
0
35.486
=
0
0.99987
133.068
にあるカフェの [
C：お腹すいたよ。
] がいいんじゃない？
以上
5

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