テンソルの計算に慣れるために
a = (a1 , a2 , a3 ) を 3 次元単位ベクトルとします. 3 × 3 行列 Xa をレヴィ・チビタの記号 εijk
を用いて, 次のように定義します.
(Xa )ij ≡ εijα aα .
問 1 Xa を行列で書き表してください.
問 2 Xa3 = −Xa を示してください.
以下では, 問 2 の式を, アインシュタインの縮約を用いて示してみましょう. 用いるもの
は, 以下の 3 つの式です.
ai ai = 1,
εiαβ εiγδ = δαγ δβδ − δαδ δβγ
εiαβ aα aβ = 0
(∀α, β, γ, δ = 1, 2, 3),
(∀i = 1, 2, 3).
問 3 上の 3 つの式を確かめてください.
問 4 問 2 の式をアインシュタインの縮約を用いて示してください.
（ヒント）
¡ 2¢
Xa ij = (Xa )ik (Xa )kj = εikα aα εkjβ aβ .
（因みに,
eθXa = I + sin θXa + (1 − cos θ)Xa2
は a を軸として単位行列 I を θ 回転する SO(3) の元に対応しています. ）

dv m kx dt dx v dt

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