解析学 D 自習用問題 No.9
（2015.1.9 配布）
プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/H26KaiD.html にも置いてあります．
以下の問題は皆さんが自習をするための練習問題です．レポートにして提出する必
要はありません．略解は HP に掲載します．
※ 以下の問題では，微分方程式の解は 実数値関数 を考えることとします．
◆ 次の微分方程式または初期値問題の解をすべて求めよ．解がそれですべてであること
の根拠も述べよ．
（特に式変形の途中で 0 で割り算をする箇所に注意せよ．
）
(6), (7) はやや難しい問題である．
(1) y 0 = y 2 − 1
(2) x2 y 0 = 2xy + y 2
（ヒント：{(x, y) ∈ R2 | x > 0} と {(x, y) ∈ R2 | x < 0} のそれぞれの領域においては
初期値問題の解の存在・一意性が保証されている）
(3) y 0 cos x + y sin x + 1 = 0
(4) y 0 =
y
1
1
− y 2 − 2 (x > 0) （ヒント：リッカチ型，y = ）
x
x
x
(5) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = xex + sin x
(6) y 0 = 2|y| 2 , y(0) = 0
1
(7) x2 y 00 − 7xy 0 + 12y = x3 （ヒント：オイラー型）
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