演習問題7

微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 7
2016 年度前期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class ※ ∗ 印の付いた問題は、少し難易度が高めです。
問題 7-1. (不定積分の計算)
以下の不定積分を計算しなさい。
∫
∫
(5x4 − 6x3 + 2x2 − 3) dx (2)
(1)
)
∫ (
x2 + 1
dx
cos(3x) −
x
(4)
∫
(5)
∫
e2x−3 dx
(3)
1
dx
3x + 2
(6)
∫
1
√
dx
1 − x2
tan x dx
問題 7-2. (部分積分法と置換積分法)
以下の不定積分を計算しなさい。
∫
x2
(1)
√
x3 − 1 dx (2)
∫
(4)
∗
Arctanx dx
【ヒント集】
∫
∫
(5x − 3)(2x + 1)5 dx (3)
∫
x
(5)
e sin x dx
(6)
x2 cos(x3 + 1) dx
∗
∫ √
a2 − x2 dx (a > 0)
※ 本当に困ったときだけ見ること!!
(1), (3) 「かたまり」を探そう。
(2) ヒント 1: (5x − 3) は微分すると簡単
ヒント 2: (2x + 1)• の形の式は積分出来るでしょう?
(4) ヒント 1: Arctan(x) の微分は出来る (…でしょう?)
ヒント 2: 微分して 1 になるものは…??
∫
(5)∗ I = ex sin x dx とおいて 2 回部分積分して、I に関する方程式を立てよう。
(
)
1
1
∗
− π ≤ t ≤ π とおいて置換積分しよう。
(6) x = a sin t
2
2
※ 最後に x の式に戻すのを忘れずに!!
問題 7-3. (定積分の計算)
以下の定積分を計算しなさい。
∫
x=3
(1)
x=0
∫ x=1
(4)
x=0
1
dx
5x + 1
(2)
1
dx (5)
1 + 3x2
【ヒント】 ∫
∗
∫
x= π
2
(6) In =
x=1
√
x=− 3
∫ x= π2
1
√
dx
4 − x2
∫
cos3 x sin x dx (6)∗
x=−π
x=2
log(2x + 3) dx
(3)
x=−1
∫ x= π2
cos2n (x) dx
x=0
cos2n (x) dx とおいて、In と In−2 との間の関係式を求めよう。
x=0
※ 部分積分を 2 回用います

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