【解析学・レポート問題】 (no.2)

【解析学・レポート問題】 (no.2)
1 微積の教科書の問題 6.2 (p.157) 2, 3, 4, 5 を解け. (提出の必要はない)
2 次の関数を x “ 0 における整級数に展開せよ
. またその収束区間 (“ 実数の範囲での収束域) も求めよ.
c
´ sin x ¯2
1`x
(1) cosh x
(2) log
(3)
(ヒント: 分子を cos 2x で表現する)
1´x
x
?
"
cosh x px ě 0q
1
˚
˚
(4)
(ヒント: 分子分母に 1 ´ x を掛ける) (5) ϕpxq “
?
1 ` x ` x2
cos ´x px ă 0q
3 次の関数の x “ 0 における整級数の 0 でない最初の 3 項を求めよ.
(1) e´x sin x
˚
(4)
p1 ` xq
1
x
(3) logpcos xq (ヒント: cos x “ 1 ` f pxq, f p0q “ 0)
(2) tanh x
(ヒント: p1 ` xq
1
x
“e
logp1`xq
x
,
logp1 ` xq
“ 1 ` f pxq, f p0q “ 0)
x
4 次の級数の和を求めよ.
8
8
8
´ÿ
¯1
ÿ
ÿ
n
n
(1)
(
ヒント
:
nx
“
x
xn を用いる)
n
2
n“1
n“0
n“1
ż x´ ÿ
8
8
8
¯
ÿ
ÿ
p´1qn
p´1qn x3n`2
(2)
(ヒント:
“
p´1qn t3n`1 dt を用いる)
3n ` 2
3n ` 2
0 n“0
n“1
n“0
5
"
1
an xp1´nxq2 p1`2nxq2 p´ 2n
ă x ă n1 q
0
potherwiseq
により定める. tfn pxqu の極限関数 f pxq が定数関数 0 であることは既に見た.
ş1
ş1
(1) lim ´1 fn pxq dx “ ´1 f pxq dx が成り立たなくなるような tan u の例を挙げよ.
˚
数列 tan u に対して, r´1, 1s 上の関数列 tfn pxqu を fn pxq “
(2)
nÑ8
tfn1 pxqu
の極限関数が存在し, しかも lim fn1 pxq “ f 1 pxq p´1 ă x ă 1q が成り立たなくなるよ
うな tan u の例を挙げよ.
nÑ8
6 第 n 項が次で与えられる関数列 tfn pxqu の極限関数 f pxq を求め, 一様収束性を調べよ.
1
xn
(1)
(2)
(3) nxp1 ´ xqn p0 ď x ď 1q
p1 ` x2 qn
p1 ` x2 qn
7 次の関数項級数の一様収束性を調べよ.
8
8
ÿ
ÿ
1
(1)
(2)
xe´nx p0 ď x ď 1q
2 ` x2
n
n“1
n“0
(4)˚
(3)
8
ÿ
8
ÿ
?
x
(ヒント: ab ď pa ` bq{2 )
3 x2
1
`
n
n“0
´
p´1qn
p´1qn
1
1 ¯ p´1qn
(ヒント:
“ p´1qn
´
`
)
n ` sin x
n ` sin x
n
n
n ` sin x
n“2
8 p ą m P N のとき, f pxq “
8
ÿ
sin nx
px P Rq とおく.
np
n“1
(1) f pxq は R 上の連続関数となることを示せ.
(2)˚ m ě 2 ならば, f pxq は C m´1 級関数で, f pjq pxq “
が成り立つことを示せ.
8
ÿ
sinpnx ` pjπq{2q
pj “ 1, 2, . . . , m´1q
np´j
n“1
クラス 2 (担当：伊東)

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