【解析学・レポート問題】 (no.2) 1 微積の教科書の問題 6.2 (p.157) 2, 3, 4, 5 を解け. (提出の必要はない) 2 次の関数を x “ 0 における整級数に展開せよ . またその収束区間 (“ 実数の範囲での収束域) も求めよ. c ´ sin x ¯2 1`x (1) cosh x (2) log (3) (ヒント: 分子を cos 2x で表現する) 1´x x ? " cosh x px ě 0q 1 ˚ ˚ (4) (ヒント: 分子分母に 1 ´ x を掛ける) (5) ϕpxq “ ? 1 ` x ` x2 cos ´x px ă 0q 3 次の関数の x “ 0 における整級数の 0 でない最初の 3 項を求めよ. (1) e´x sin x ˚ (4) p1 ` xq 1 x (3) logpcos xq (ヒント: cos x “ 1 ` f pxq, f p0q “ 0) (2) tanh x (ヒント: p1 ` xq 1 x “e logp1`xq x , logp1 ` xq “ 1 ` f pxq, f p0q “ 0) x 4 次の級数の和を求めよ. 8 8 8 ´ÿ ¯1 ÿ ÿ n n (1) ( ヒント : nx “ x xn を用いる) n 2 n“1 n“0 n“1 ż x´ ÿ 8 8 8 ¯ ÿ ÿ p´1qn p´1qn x3n`2 (2) (ヒント: “ p´1qn t3n`1 dt を用いる) 3n ` 2 3n ` 2 0 n“0 n“1 n“0 5 " 1 an xp1´nxq2 p1`2nxq2 p´ 2n ă x ă n1 q 0 potherwiseq により定める. tfn pxqu の極限関数 f pxq が定数関数 0 であることは既に見た. ş1 ş1 (1) lim ´1 fn pxq dx “ ´1 f pxq dx が成り立たなくなるような tan u の例を挙げよ. ˚ 数列 tan u に対して, r´1, 1s 上の関数列 tfn pxqu を fn pxq “ (2) nÑ8 tfn1 pxqu の極限関数が存在し, しかも lim fn1 pxq “ f 1 pxq p´1 ă x ă 1q が成り立たなくなるよ うな tan u の例を挙げよ. nÑ8 6 第 n 項が次で与えられる関数列 tfn pxqu の極限関数 f pxq を求め, 一様収束性を調べよ. 1 xn (1) (2) (3) nxp1 ´ xqn p0 ď x ď 1q p1 ` x2 qn p1 ` x2 qn 7 次の関数項級数の一様収束性を調べよ. 8 8 ÿ ÿ 1 (1) (2) xe´nx p0 ď x ď 1q 2 ` x2 n n“1 n“0 (4)˚ (3) 8 ÿ 8 ÿ ? x (ヒント: ab ď pa ` bq{2 ) 3 x2 1 ` n n“0 ´ p´1qn p´1qn 1 1 ¯ p´1qn (ヒント: “ p´1qn ´ ` ) n ` sin x n ` sin x n n n ` sin x n“2 8 p ą m P N のとき, f pxq “ 8 ÿ sin nx px P Rq とおく. np n“1 (1) f pxq は R 上の連続関数となることを示せ. (2)˚ m ě 2 ならば, f pxq は C m´1 級関数で, f pjq pxq “ が成り立つことを示せ. 8 ÿ sinpnx ` pjπq{2q pj “ 1, 2, . . . , m´1q np´j n“1 クラス 2 (担当:伊東)
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