ラジアン(rad)

2014/7/10
等速円運動
・等速円運動:一定の速さで円上を回る運動
回転の速さ(角速度)
物体にはたらいている力
・速さは変わらないが,向きが変わる
ニュートンの第2法則
(運動方程式)
・中心方向に向かって加速する
・中心方向に力がはたらいている
加速度
力の形は?
速度

 F
a
m
• 角速度ω(rad/s)→1秒間で何rad(ラジアン)回転するか
• 半径r 〔 m〕,速さv〔m/s 〕 とすると,
1秒間に進む円周上の距離はv 〔m/s〕×1s=v〔m〕であ るから
速度
v

r
角速度(1秒間に進む角度)
v  r
位置

速度
人工衛星
速度
紐
力

力
地球
• 角速度ω(rad/s)→1秒間で何rad(ラジアン)回転するか
• 半径r 〔 m〕,速さv〔m/s 〕 とすると,
1秒間に進む円周上の距離はv 〔m/s〕×1s=v〔m〕であ るから
• 円の半径と弧の長さの比で表した角度
l
r
速度
v

r
• r:l=1:1のとき 1rad
360°=2π rad
180°=π rad
90°=π/2 rad


a0

a1
:速度の方向は軌道の接線方向
(プリント問2)
y

v2

r3 r
2

a2
l
r
l

r


 v dv

a
t dt

v3

r
加速度ベクトルは円の中心を向いている

(力は中心を向いている : 向心力 ) F  ma
ay


 r dr

v
t dt
角速度(1秒間に進む角度)
v  r
l
等速円運動とベクトル

a0

a1
l
r
回転の速さ(角速度)
ラジアン(rad)

l
r

v1

r1

r0

a1

v0

a2
x

a3
軌道

a3
ax

a2

a0
速度ベクトルの大きさ
v  r
加速度ベクトルの大きさ
a  v  r 2

a3

v3
vy
 
 v1 v0
 v2
v3
vx

a0

a1
y

v2

r3 r
2

a2
F  ma  mr 2
F m

v1

r1

r0

a1

v0

a2
x

a3

a3

a0
vy
v2
r
 
 v1 v0
 v2
v3
vx
軌道
1
2014/7/10
速度ベクトルの大きさ
v  r
加速度ベクトルの大きさ
a  v  r 2

v3

a0

a1

r3 r
2

a2
x  r cos(t )
y  r sin(t )
vx  r sin(t )
v y  r cos(t )
2
2
v  v x  v y  r 2 2
2
2
 y

r3
r2
円運動では必ずこの大きさの力が
中心方向にはたらいている。

v0

cos (t )  sin
微分
ax  r 2 cos(t )
a y  r 2 sin(t )

(t )   r
a  a x  a y  r 2 4 cos 2 (t )  sin 2 (t )  r 2
v2
r

v1

r1

r0
微分
F  ma  mr 2
F m
y

v2
v  r a  v  r 2
微分で
加速度ベクトルは円の中心を向いている

(力は中心を向いている : 向心力 ) F  ma
x
2
vy
ay
 
 v1 v0
v
 2
v3

r1

r0 x

a3
2

a0
vx a
1
ax

a2
軌道
問13
曲線上の運動(等速円運動の一般化)
図のようなサーキットを一定の速さで車が走っている.B点,E点での
速度ベクトルが描いてある.
(1)他の地点での速度ベクトルの向きを描きなさい.
(2)E点,G点で車に働く合力の向きを描きなさい.
曲線の内側に向かって力がはたらいている。
力の大きさ: F  m
急カーブほど
大きな力がはたらく
v2
r
曲率半径 r の円
y
速度ベクトルは軌跡の
接線の向き
力の方向
例:
車がカーブを曲がるとき、タイヤの受ける摩擦力が
カーブの内側にはたらいている
G
力の合力の向き=加速度
ベクトルの向き=カーブの
内側に向く
v
E
F
D
C
A
m
B
x
問13
(3)E点で車に働く合力と,G点での合力は
どちらが大きいか.
F m
問14
v2
r
質量1000kgの車が一定の速さ30m/s(108km/h)で半径200mカーブを
曲がっている.
E点:同じ速さであれば回転半径が小さいほど加速度は大きく,
したがって力も大きい
(1) このときタイヤと路面との間の(中心方向の)摩擦力の大きさは
何Nか.
(4)車にはたらく力の合力が0の区間は?
v2
30  4500  4.5 103
 1000 
200
r
2
y
直線では速度の向きは変化せず,大
きさは一定であるから加速度は0であ
る.よってAB間
G
F m
E
F
D
質量m
v
C
A
B
円の中心
タイヤの受ける
摩擦力の方向
半径r
x
2
2014/7/10
問14
(2) 路面が雨に濡れてタイヤと路面との最大静止摩擦係数が小さ
くなるとタイヤはスリップする.この場合静止摩擦係数がいくつにな
るとタイヤがスリップするか計算せよ.
F  N
(N:垂直抗力)
v2
F m
r
N  m
×1000×9.8 4500

v2
r
mg  m
v2
r
=0.459
静止摩擦係数が0.46より小さくなるとスリップする
3