等速円運動―弧度法と角速度

2 学年
物理
「等速円運動―弧度法と角速度―」
1.1 等速円運動
円運動は，地球の自転や公転，観覧車，レコードや CD，ハードディスク，車がカーブ
を曲がるときなど様々な現象でみられる．ここでは，物体が円周上を一定の速さで運動す
る（
）について学ぶ．
以下に示す順番で，等速円運動ついて考えていく．
(1) （
）による位置の記述
(2)
(3)
(4)
1.2 弧度法
円の弧の長さを利用して，中心角を表す方法を
（
）という．図に示すように，半径の
円の中心から，長さの弧を見たときの中心角をとす
る．このとき，弧度法を用いて中心角を表すと
となる．弧度法を用いると，角の単位は無くなるが，角
ということを明らかにするために，
（
）
と表記する．また，円の孤の長さは，半径と中心角を
用いて以下のようになる．
円周一回りの中心角を，度を用いて表すと（
（
）である．一方，円周一回りの長さは，
）である．これより，円周一回りの中心角を弧度法で表すと，
となる．これより，180°，90°，60°を弧度法で表すと，それぞれ（
），
（
）
，
（
）
となる．
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1.3 速さと角速度
図に示すように，半径の円周上を等速円運動している物体
を考える．時間の間に，円弧の長さを移動したとする．ま
た，円弧を望む中心角をとする．このときの物体の速さ
は，
と表せる．一方，物体が等速円運動しているときは，時間の
間に回転する角も一定である．単位時間当たりに回転する角を
（
）といい，以下のように定義する．
これより，角速度で等速円運動する物体が，時間の間に回転する角度は，
となる．以上の式から，速さと角速度の間は以下に示す関係がある．
角速度も一直線上を運動する物体の速度と同様に符号がある．回転する向きが（
きを正，（
）のと
）のときを負とする．
1.4 周期と回転数
物体が円周上を 1 回転して元の位置に戻るまでに必要な時間を（
）といい，以下の式で求
めることができる．
また，1 秒間に円周上を回る回数を（
間に，
（
）という．周期 0.5 s で運動する物体は，1 秒間の
）回転する．同じように周期 0.25 s で運動する物体は，1 秒間に（
）回転する．
回転数は，周期の逆数で求められることが分かる．
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例題 1-1
次に示す角度を，弧度法を用いて表せ．ただし，円周率はとする．
(1) 60°
(2) 225°
(3) 45°
(4) 270°
(5) 180°
(6) 360°
(7) 90°
(8) -60°
例題 1-2
次に示す角を，度を用いて表せ．
(1) (2)
(4) 2
(5)
(8)
(7)
(3)
(6) − 例題 1-3
次に示す表の空欄を埋めよ．
角
sin cos tan 度
rad
0°
0.000
0.0000
1.0000
0.0000
1°
0.017
0.0175
0.9998
0.0175
0.070
0.0698
0.9976
0.0699
0.175
0.1736
0.9848
0.1763
0.349
0.3420
0.9397
0.3640
2°
3°
4°
5°
10°
15°
20°
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例題 1-4
CD-ROM と DVD-ROM はそれぞれ 60 秒間に 30 と 700 回転する．角速度は何[rad/s]かそれぞれ求めよ．
例題 1-5
(1)　半径 5.0 m の円周上の長さ 8.0 m の円弧に対する中心角 h 2 rad3 を求めよ。また，そ
れは何度か。
(2)　中心角 0.50 rad に対する円弧の長さが 15 m の円の半径 r 2 m3 はいくらか。
例題 1-6
1 分間に 6.0 回転するメリーゴーランドの回転台上で，回転の中心から 4.0 m 離れた
ところにいる人の，周期 T 2 s 3，回転数 n 2 Hz 3，角速度 x 2 rad/s 3，速さ v 2 m/s 3 を求め
よ。ただし，円周率を p とする。
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