ラジアン（rad）

2015/7/14
等速円運動
・等速円運動：一定の速さで円上を回る運動
回転の速さ（角速度）
物体にはたらいている力
・速さは変わらないが，向きが変わる
ニュートンの第２法則
（運動方程式）
・中心方向に向かって加速する
・中心方向に力がはたらいている
加速度
力の形は？
速度

 F
a
m
• 角速度ω(rad/s)→1秒間で何rad（ラジアン）回転するか
• 半径r 〔 m〕，速さv〔m/s 〕とすると，
1秒間に進む円周上の距離はv 〔m/s〕×1s=v〔m〕であるから
速度
v

r
角速度（1秒間に進む角度）
v  r
位置

速度
人工衛星
速度
紐
力

力
地球
• 角速度ω(rad/s)→1秒間で何rad（ラジアン）回転するか
• 半径r 〔 m〕，速さv〔m/s 〕とすると，
1秒間に進む円周上の距離はv 〔m/s〕×1s=v〔m〕であるから
• 円の半径と弧の長さの比で表した角度
l
r
速度
v

r
• r：l＝1：1のとき 1rad
360°＝2π rad
180°＝π rad
90°＝π/2 rad


a0

a1
：速度の方向は軌道の接線方向
（プリント問2）
y

v2

r3 r
2

a2
l
r
l

r


 v dv

a
t dt

v3

r
加速度ベクトルは円の中心を向いている

（力は中心を向いている：向心力） F  ma
ay


 r dr

v
t dt
角速度（1秒間に進む角度）
v  r
l
等速円運動とベクトル

a0

a1
l
r
回転の速さ（角速度）
ラジアン（rad）

l
r

v1

r1

r0

a1

v0

a2
x

a3
軌道

a3
ax

a2

a0
速度ベクトルの大きさ
v  r
加速度ベクトルの大きさ
a  v  r 2

a3

v3
vy
 
 v1 v0
 v2
v3
vx

a0

a1
y

v2

r3 r
2

a2
円運動では必ず
この大きさの力が
中心方向にはた
らいている。
(向心力）

v1

r1

r0

v0
F m

a1

a2
x

a3
F  ma  mr 2

a3

a0
vy
v2
r
 
 v1 v0
 v2
v3
vx
軌道
1
2015/7/14
v  r a  v  r 2
微分で
x  r cos(t )
y  r sin(t )
曲線上の運動（等速円運動の一般化）
vx  r sin(t )
v y  r cos(t )
微分

cos (t )  sin
微分
ax  r 2 cos(t )
a y  r 2 sin(t )

(t )   r
a  a x  a y  r  cos (t )  sin (t )  r
2
2
2
4
v  v x  v y  r 2 2
2
2
 y

r3
r2
2
2
2
2
力の大きさ： F  m

r0 x
急カーブほど
大きな力がはたらく
v2
r
曲率半径 r の円
力の方向
vy
ay
 
 v1 v0
v
 2
v3

r1
曲線の内側に向かって力がはたらいている。
2

a0
vx a
1
例：
車がカーブを曲がるとき、タイヤの受ける摩擦力が
カーブの内側にはたらいている
v
ax
m

a2
問１３
問１３
図のようなサーキットを一定の速さで車が走っている．B点，E点での
速度ベクトルが描いてある．
（1）他の地点での速度ベクトルの向きを描きなさい．
（2）E点，G点で車に働く合力の向きを描きなさい．
（3）E点で車に働く合力と，G点での合力は
どちらが大きいか．
F m
v2
r
E点：同じ速さであれば回転半径が小さいほど加速度は大きく，
したがって力も大きい
（4）車にはたらく力の合力が0の区間は？
y
速度ベクトルは軌跡の
接線の向き
y
G
力の合力の向き＝加速度
ベクトルの向き＝カーブの
内側に向く
直線では速度の向きは変化せず，大
きさは一定であるから加速度は0であ
る．よってAB間
E
F
E
F
G
D
D
C
A
C
A
B
B
x
問１４
x
問１４
質量1000kgの車が一定の速さ30m/s（108km/h）で半径200mカーブを
曲がっている．
(1) このときタイヤと路面との間の（中心方向の）摩擦力の大きさは
何Nか．
v2
30  4500  4.5 103
F  m  1000 
200
r
2
円の中心
タイヤの受ける
摩擦力の方向
F  N
（N：垂直抗力）
v2
F m
r
N  m
×1000×9.8 4500

v2
r
mg  m
v2
r
=0.459
質量m
v
(2) 路面が雨に濡れてタイヤと路面との最大静止摩擦係数が小さ
くなるとタイヤはスリップする．この場合静止摩擦係数がいくつにな
るとタイヤがスリップするか計算せよ．
半径r
静止摩擦係数が0.46より小さくなるとスリップする
2

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