周期性アナログ信号のフーリエ解析

周期性アナログ信号のフーリエ解析
一般的に、ある信号 f (t) (デジタルでもアナログでも、周期的でも非周期でも OK) に対して何らかの計算を行なって
振幅スペクトル (成分) と位相スペクトル (成分) を求め、そのスペクトル図を描き、f (t) に含まれているサイン波の周波
数・振幅・位相を調べる事を「フーリエ解析」とか「スペクトル解析」と言います。今回は周期的なアナログ信号 f (t)
を扱っていましたので、周期性アナログ信号のフーリエ解析について学びたいと思います。
まずは周期的なアナログ信号 f (t) のフーリエ級数展開の定義を振り返ってみましょう。
f (t) =
∞ {
}
∑
Ck · e{j·k·w1 ·t}
k=−∞
この定義式から分かることは「アナログ信号 f (t) が周期的なら、f (t) は、角周波数が k · w1 (rad/秒)、振幅が振幅ス
ペクトル (成分) |Ck |、初期位相が位相スペクトル (成分) ∠ Ck である複素正弦波が無限個足し合わされて出来ている」
ということでした。
一方、実フーリエ級数展開の定義
f (t) = a0 +
∞
∑
{ak · cos(k · w1 · t + φk )}
k=1
から分かることは「アナログ信号 f (t) が周期的なら、f (t) は、角周波数が k · w1 (rad/秒)、振幅が ak 、初期位相が φk
であるサイン波 (cos 波) が無限個足し合わされて出来ている」ということでした。
さらにフーリエ係数 Ck と ak 、φk には
C0 = a0 , Ck = |Ck | · ej·∠
Ck
=
ak {j·φk }
·e
2
という関係がありましたので、結局 |Ck | と ∠ Ck をスペクトル図として視覚化することで次のことがひと目で分かるよ
うになります。これが周期性アナログ信号のフーリエ解析です。
周期性アナログ信号のフーリエ解析
f (t) から Ck を求めて振幅・位相スペクトル図を描くことで、f (t) に角周波数が k · w1 (rad/秒)、振幅 ak = 2 · |Ck |
、初期位相が φk = ∠ Ck のサイン波 (cos 波) が含まれていることが視覚的に分かる (直流成分は a0 = C0 )。
ちなみにスペクトル図の所で「横軸の刻みを整数 k ではなくて角周波数 k · w1 (rad/秒) にしろ」と言いましたが、そ
の理由はそうすることで現在考えているサイン波の角周波数が分かりやすくなるからです。例えば、ある f (t) から下の
振幅スペクトル図が出来たとしたら (位相スペクトル図は略)、その f (t) には角周波数が 2π (rad/秒) で振幅が 2 のサイ
ン波 (cos) と、角周波数が 4π (rad/秒) で振幅が 8 のサイン波 (cos) が含まれている事が分かります。
|C2|=4
|Ck|
|C1|=1
0
2π
4π=(2・2π)
w1=2π (rad/秒)
図 1: 振幅スペクトル図の例
1
w(rad/秒)

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