問 25(位相空間論の問題)
「コンパクトな位相空間は局所コンパクトである」という命題は成り立つか?成り立つなら
証明せよ。成り立たないなら反例を挙げよ。
問 26(線形代数の問題)
実係数一変数多項式全体の集合を R[ X ] とおく。 f R[ X ] に対して、 R[ X ] 上の線形変換
V f を V f g fg ( g R[ X ]) とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) f 0 ならば、 V f は単射であることを示せ。
(2) V f が逆変換をもつための必要十分条件は f が 0 次多項式(つまり定数項だけ)であるこ
とを示せ。
(3) f 0 X とおく。このとき、以下の条件をみたす線形空間 W f 0 が存在することを示せ。
2
(ア) U f 0 T TW f 0 を満たす単射線形写像 T : R[ X ] W f 0 と W f 0 上の全単射線形変換
U f 0 が存在する。
l
(イ) W f 0 span U f 0 Tg | l Z, g R[ X ]
(4) 任意の V f に対して、 U f T TV f を満たす W f 0 上の線形変換 U f は存在するか。存在す
る場合は証明せよ。そうでない場合は反例を挙げ、 U f が存在するための f に対する必
要十分条件を述べよ。
問 27(微分積分の問題)
(1) R 上の調和関数 f が有界であれば f は定数関数であることを示せ。
2
(2) 「 R 上の調和関数 f が有界であれば f は定数関数である」という命題は成り立つか？
3
成り立つならば証明せよ。成り立たないならば反例を挙げよ。
問 28(複素積分と Fourier 変換をつかった計算)
以下の積分の値を計算せよ。
1
1
4
lim
exp( x )dx
0 x i
x
i
問 29(Lebesgue 積分論の問題)
R 2 上の非負値 Lebesgue 可測関数 f について、
N s y R | f (s, y) 0
(s R )
c
とおく。このとき、任意の s について N s の Lebesgue 測度が 0 ならば、(Lebesgue 測度に
ついて考えた場合の)ほとんどいたる t R について、M t の Lebesgue 測度が 0 であること
c
を示せ。ただし、
M t x R | f ( x, t ) 0
である。
問 30(加群の問題)
Z 加群 V (n1 , n2 ,, nm ) | ni Zと Z 加群としての準同型写像 : V Z について、以下
の問いに答えよ。
l
l
l
(1) 任意の l N について、 V V V V とし、準同型写像 : V Z を
l
l
と定義する。このとき、V l / Ker l から V l 1 / Ker l 1 への単射準同
l
型 l で l l l 1 l を満たすものが一意に存在することを示せ。ただし、l は V か
l
らV
l 1
への埋め込み写像とする。
(2) 加群 V lim (V / Ker , l ) と Z は同型であることを証明せよ。
*
l
l
問 31(bool 代数の問題)
半順序集合 ( X , ) について、任意の f , g X に対して { f , g} の上限 f g 、下限 f g が
存在する場合、 ( X , ) は束であるという。束 ( X , ) について以下の問いに答えよ。
(1) 任意の f , g , h X に対して、以下の性質が成り立つことを示せ。
(ア) ( f g ) h f ( g h)
(イ) ( f g ) h f ( g h)
(ウ) ( f g ) h ( f h) ( g h)
(エ) ( f g ) h ( f h) ( g h)
一般に ( f g ) h ( f h) ( g h) や ( f g ) h ( f h) ( g h) は成り立たず、
成り立つ束のことを分配束という。以下の問題からは分配束の公理を満たすものと仮
定する。
(2) ( X , ) について、最小元 f min ・最大元 f max が存在するとき、以下の性質が成り立つこ
とを示せ(以下 ( X , ) は最大元・最小元をもつものと仮定する)
(ア) f f f min (f X )
(イ) f f f max (f X )
(3) ( X , ) 上の写像 : X X で、
(ア) f f f max
(イ) f f f min
(f X ) を満たすものが存在するとき、以下の性質が成り立つことを示せ。(このこと
から、 ( X , ) に和を 、積を とした単位的可換環の構造が入る。そして、以下は写像
: X X が存在すると仮定して話を進める。)
・ f g f g
・ ( f g ) (f ) (g )
・ ( f g ) (f ) (g )
・ f max f min
(4) ( X , ) のイデアル I について、以下の性質を満たすことを証明せよ。
・ f I , g X について、 f g g I
・I I
2
(5) ( X , ) の極大イデアル I (もちろん f max を含まない)について、任意の f について以下の
命題が成り立つことを示せ。
・ f , f のいずれか一方が I に属する。
問 32(関数解析の問題)
Hilbert 空間 H 内の弱 compact な凸集合 X について、 exX が成り立ち、かつ
co(exX ) X が成り立つことを示せ。ただし、co については弱位相における閉凸包を表し
ている。
問 33(関数解析の問題・凸集合と端点集合)
n 次正方行列 M n について、 ( M n )1 A M n | A 1 とおく。このとき、
ex (M n )1 A M n | A : unitaryが成り立つことを示せ。
問 34(情報数理で使う線形代数の問題)
実正定値行列 A (もちろん可逆)について、 A BB を満たす下三角行列 B が存在するか考
*
える。このような行列の分解を Cholesky 分解という。
Cholesky 分解のアルゴリズムは以下のとおりである。(以下、 ai , j を A の (i, j ) 成分とする)
① b1,1
a1,1 と置き、 ai ,1 (2 i n) を a1,1 で割る。（割ったものを bi ,1 とする）
② (1,1) 成分に対する A の余因子行列を A1 とし、 B1 A1 b1 b1 とする( b1 は
t
bi ,1 (2 i n) を成分とした列ベクトル)
③ B1 に対して、上記①、②と同じ操作をして A2 , B2 を得る。
④ ③の操作を n-1 回繰り返す(n は行列 A のサイズ)ただし、 Bn 1 を得た場合は、
その値の平方根を改めて Bn 1 とおく。
b1,1 0
b
b2, 2
2 ,1
⑤ ここで、 B
bn ,1 bn , 2
0
0
とする。
bn ,n
(1) 上記の B1 が正定値行列になることを証明せよ。
(2) A BB を証明せよ。
*
3
1
(3) A
0
0
1 0 0
2 1
0
は正定値行列かどうか判定し、正定値行列ならば Cholesky 分解
1 3 1
0 1 4
を行え。
問 35(実解析の問題)
(1) R 上の有界単調増加関数の不連続点は高々可算個であることを示せ。
(2) R 上の右連続単調増加関数列 { f n }n1 が一様有界ならば、部分列 { f nk }k 1 と右連続単調増
加関数 g で、
lim f nk ( x) g ( x)
k
( x は任意の g の連続点)
を満たすものが存在することを証明せよ。
問 36(関数解析の問題)
実 Banach 空間 X の閉部分集合 X が以下の条件を満たす時、 X の錐(cone)という。
(ア) x, y X x y X
(イ) x X , 0 x X
(ウ) X X X
(エ) ( X ) X {0}
(オ) x y X x y 0
(1) X に二項関係 を以下のように定義する。
x y y x X
このとき、 は X の半順序関係になることを示せ。
(2) X の元 1 が以下の条件を満たす時、 1 を X の単位元という。
・ x x 1 (x X )
・ 1 1
このとき、実線形汎関数 : X R について以下の命題は同値であることを示せ。
・ X で、
*
(1)
・ x X ( x) 0
(3) Y { X | は(2)の命題の条件を満たす}とおく。任意の x, y X について、半順序
*
関係 における {x, y} の下限・上限が存在するならば、Y は X * の cone となることを示
せ。
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