バ 注 意事項 'ユ 'い ず 1 開始の合図があるまでこの冊子を開いてはいけません。 2 試験開始後,次 のものが配布されているか確認 してください。 問題冊子 1部 ,解 答用紙 3枚 ￨ 間顕は全部で3問 あります。3問 すがて解答してください。 各解答用紙に受験番号を記入してください: 解答時間は12.0分 です。途中で退席することはできません。 議撃卒 了後 ,問 題 冊子は各 自持 ち帰 っ て くだ さい。 ￨ 1/4 I` ,質 量″,中 心軸まわり 図のように,水 平面と傾斜角θをなす摩擦のある斜面上に,半 径α の慣性モーメントIを もつ一様な円柱がある。この円柱が常に中心軸を水平に保ったまま滑ら ずに転がり落ちる運動を考える。斜面に平行な方向を■軸,斜 面に垂直な方向をヶ軸,軍 力加 速度の大きさを,と して,以 下の問いに答えよ。 ノ こ ＼ ■. 斜面が円柱に及ぼす垂直抗力の大きさをⅣ,円 柱に働く静止摩擦力の大ききをRと する。 ぃ神まわりの角速車の大きさをυとして,円 柱の車心の運動方 円柱の専心の速さを υ ,中 ′ ￨ 程式 と,中 心軸まわりの回転の運動方程式をそれぞれ書け。 2 円柱 と斜面が接する点が瞬間的に静止する条件をα ,υ ,ω を用いて表せ。 3. 円柱の重心の加速度の大きさを求めよ。また,時刻 `=0に おける円柱の重心位置が∬=0. にあ り,速 さが 0で あるとしたとき:時 刻 ιにおける重心位置の″成分を求めよ。 4. 円柱と斜面の静止摩擦係数をμとしたとき,'円 柱が斜面上を滑らずに転がるなめの ヤ ィF 対する条件を求めよ。 5.円 柱の董jさ の並進運動ェ不ルギーを■ :中 心軸まわりの回転運動土ネルギーを ぁ とす る。このとき,■ とち の和を時間微分 したものが,重 力のする仕事率 となることを示せ。 6.円 柱のかわりに,同 じ半径,同 じ質量をもち,中 が空洞である一様な円筒の運動を考え る のとき,滑 らずに転がり落ちる速さは円柱の場合に比べて,速 くなるか,遅 くなる `こ か,そ の理由を含めて答えよ。 Ⅱ: 2/4 1.図 のように 開曲面 Slを 表面 とす る導体が真空 中に置かれている。 , 時刻 ι ,導 体内部の点 デにおける電荷密度,電 流密度をそれぞれρに ι ),′ につ とする と,連 続の方程式 の (事 )+・ ι ニ ス )=0 が成 り立う。また ,導体内の電流密度はその点における電場 jに ι )に 比例 し,電 気伝導 率 を し とすると,微 視的なオームの法則 ￨ ‐ 」 liι )=σ″(■ ι ) が成り立つものとする。真空中の誘電率を ε 。として,以 下の問いに答えよ。 a量 [l:守 ヱ 税は 、 i鑑ポ躙 』 :[襟 体 であるもただ し,必 要ならば,次 の発散定理を用いよ。 ￨ (1'■ ,あ =1■ ,珈 . 1‐ i ここで,あ は曲面 Sl上 の2/Jヽ 面積要素,π は外向きの単位法線ベクトルである。 b電 場 j19‐ す)の 発散と電荷密度 ρに ι)の 関係式を書け。また,こ の関係式の名称を 答えよ。 c.連続の方程式と微視的なオームの法則を連立させると,電 荷密度の時間変化を表す式 71轟 ズ10 が得られる。このとき,時 定数 ■ ￨ (時 間の次元をもつ定数)■ をε 表せ。 。および `で 一様な電荷密度 ρ に の ‐ヵ が導体内部に与えられたとする。その後 d.時 刻 `=oに の時刻 サにおける導体内部の電荷密度ρ にす )を 求めよ。 ￨ e導 体の電気伝導率がσ三41x107A/Vmで あるとき,時 定数■ の値を計算せよ。 ただし,真 空の誘電率の値を F Ox lo 12 c/vmと せよ。 “ 3μ Rの 抵抗か らなる回路がある。 時刻ιにおいて,コ ンデンサに蓄えられてぃる電荷をαt)と し1抵 抗を流れる電流を I(`)と する:コ ンデンサの極板の面積をs,極 板間の誘電率をεとするとき,以 下の間 2.図 の よ うに,静 電容量 θ の平行板 コ ンデンサ と抵抗値 ￨ いに答えよ。 よ 響 +つ (`) ―C(t) E(ι )I a.電 荷つ(`)の 時間変化を表す式 響 =豊 90 1 を導き,時 定数 ら を抵抗値 Rお よび静電容量 σを用いて表せ。 b.F=2mO,σ =o olμ Fの ときの T2の 値を計算せよ。 平行枝コンデンサの極板間では,電 流 I(ι )は 流れていないが,電場ができている:極板 間の電場は,極 板間の距離が十分小さいため一様とみなせるものとし,電 荷+0(ι )の 極 板から電荷_α 極板へ向かう電場を 2oと する。 `)の c電 場 aり を求めよ。 ●.時 間中に変動す乞竜場 E(`)に 対して,ぁ (`)=ε 型■2を 変位電流の密度どじヽ うp 早ンディサの極板間の変位電流 ぉo=ヵ o'が ,抵抗を流れる電 0ギ ￨夕 絆 に等 しい ことを示せ。 Ⅲ ‐ . 4/4 は定数,デ =(i,し ,2)は 位置ベクトル ■ 力の場f=〈 ―α 。ここそ,α とら ,‐ 6Z)が ある ν。 ,α である。以下の問いに答えよ。 a.Fあ 発散ラ Fと 回転 ▽×Fを それぞれ求めよ。 b.Fが 保存力であるための条件を,α :ら ,0,ν ,zの うち必要なものを用いて表せ。 2 物理学で用いられる近似式について,以 下の問いに答えよ。 で,κ とιは 。￨ 。ここ 正?定 数rあ る り=κ sin:が ぁる が満たさ れ る場合 について,y(″ )を 3次 式 α+β τ+■ 2+δ r3で “ a:外 力 のポァン ヤ ル ィ 条件 同 ≪ 「 近似する。 このとき,定 数係数 α,β ,γ ,お よび δをそれぞれ求めよ。 b.光 のドップラ=効 果の理論では,即 数∫(し )F 重要な役割をする ν7_22が `こ こで,正 の定数 oは 真空中の光の速さを表す。条件 回 ≪ cが 満たされる場合に 2で 近似する。このとき ついて,ノ (■ )を 2次 式 ス+Bτ +σ し ,定 数係数 ス,3, およびσをそれぞれ求めよ。 3.薄 場″ 三(比 ,ち ,鳥 )を 次の行列 スで表すことがある。 ″ =7(4)2+(九 γ+(手 ソ≠0の 場合について 以下の問いに答えよ。虚数単位を ‐ づ=ν町 とする。なお,必 要ならば解答に″を用いて良い。 ,■ レであることを示せ。 トフ ￨ b.行列スの固有値をすべて求めよ。
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