京大 90年数学

京大数学
京大
灘進学教室
９０年
２つの曲線
y = x3
数学
x
と
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（すべて類題）
y = x2 a
が１点Ｐを通り、Ｐにおいて共通の接線をもっている。
この２つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。
【答案】
x 座標を
接点Ｐの
( x3
x 座標を
a) = ( x
)
x ) ( x2
x3
x2 , x
とし、Ｐ以外の交点の
)2 ( x
とおけるから
x + a = x3 ( + 2 ) x 2 + ( 2
x2
とすると
+
2
)x
2
の係数を比べて
+ 2 =1
+
2
... ①
= 1
2
... ②
①、②より
2 (1 2 ) +
3
(
∴
2
= 1
2
1= 0
1) ( 3 + 1) = 0
1
=1,
3
2
これと②より
) = (1,
( ,
1, 5
3 3
1)
... ③
求める面積は
S=
(x
)2 ( x
)dx
ここで
(x
)dx =
)2 ( x
{(x
=
1
(x
4
=
1
(
12
)3 (
)4
1
(
3
)4
よって
S=
1
12
③において
S=
4
どちらの場合も
1
4
× 24 =
12
3
=2
だから
)( x
)( x
)2 } d x
)3
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（すべて類題）
２
三角形ＡＢＣにおいて、∠Ｂ＝６０°、Ｂの対辺の長さ
b
は整数、他の２辺の長さ
a, c
はいずれも素数である。
で表される１次変換を
とする。
このとき、三角形ＡＢＣは正三角形であることを示せ。
３
A= a b
c d
行列
で表される１次変換を
、B=
f
a c
b d
g
u , v に対しても、内積の間に
f (u ) v = u g (v ) の関係が成り立つことを示せ。
(1)
どんなベクトル
(2)
が原点Ｏを通る直線
f
をそれ自身に移すとする。
上にＯと異なる点Ｐをとり、Ｐの
f
による像をＱ、
g
による像をＲとする。
このとき、次の(イ)、(口)のいずれかが成り立つことを示せ。
(イ)
Ｑ＝Ｒ
(口)
３点Ｑ、Ｒ、Ｏは直角三角形の頂点となる。
４
半径
の同心円の間に半径
1, 1 2r
の円が
r
n
個、互いに交わらずに入っているという状態を考える。
（≧２）を固定した上で、ｒを変化させる。
n
(1)
r
(2)
は
0 < r≦
n+2
これら
sin
n
1 + sin
の範囲になければならないことを示せ。
n
個の円の面積の総和が最小となる
r
の値を求めよ。
５
正 N 角形の頂点に
0 , 1 , .... , N 1
と時計まわりに番号がつけてある。
頂点Ｏを出発点とし、サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し、着いた頂点の番号を
次にもう１度サイコロを投げて出た目の数だけ、頂点
このようにして定めた確率変数
N =5, 6
(1)
(2)
X, Y
X
X
とする。
から時計まわりに移動し、着いた頂点の番号を Y とする。
について
のそれぞれの場合について、
X
と Y は互いに独立か。
N （ N ≧３）をすべて定めよ。
ただし、確率変数 X , Y が互いに独立であるとは、 X = i となる確率 P ( X = i ) と X = i かつ Y = j となる確率
P ( X = i , Y = j ) との間に、次の等式（＊）が任意の i , j （ 0 ≦ i , j ≦ N 1 ）について成り立つことである。
P ( X = i , Y = j ) ＝ P ( X = i ) P (Y = j )
（＊）
X, Y
が互いに独立となる
６
円
D
C
：x
2
+ y =1
2
上の１点Ｐ ( 0 ,
Ｑから
Ｒから
C
C
このとき
を内部に含む楕円
b)
から
C
D
：
2
x2 + y = 1
a 2 b2
にＱＲとは異なる接線を引き、その延長が再び
を
b
> 0 , b > 0 ）がある。
に１つの接線を引き、その延長が再び
にＰＱとは異なる接線を引き、その延長が再び
a
（a
の関数として表せ。
D
D
D
と交わる点をＱとする。
と交わる点をＲとする。
と交わる点をＳとすると、Ｓ＝Ｐとなった。

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