∫ ∫

第 6 章積分法の応用
体積②
複雑な回転体の体積
1．交わりのある立体の体積
回転軸の両側に平面がある場合，その面を回転軸の周りに 1 回転したとき，同じ
部分を 2 度以上通ることがある．このときは，あらかじめ回転軸に関して同じ側に
図形を対称移動させてから回転させるとよい．
2．媒介変数で表された曲線とで囲まれる部分の回転体
曲線上の点が，媒介変数を用いて， x = f (t ) ， y = g (t ) と表されているとき，常に
f ′ (t ) > 0 であるならば，この曲線と x 軸，2 直線 x = a ， x = b で囲まれる部分を x
軸の周りに回転させてできる回転体の体積 V は， f (t1 ) = a ， f (t2 ) = b とするとき，
=
V
∫
b
=
π y2dx
a
と求められる．
1
∫
t2
t1
2
π { g (t )} f ′ (t ) dt
第 60 講体積①
非回転体の体積
1．座標軸の設定
立体図形が与えられている場合，その体積を定積分を利用して求めるために，その
立体を座標空間に乗せ，立体上の点や曲線を，座標や方程式を用いて表す．その際，
どのように座標を設定するかで，そのあとの計算の難易に差が出るので，うまく設定
することが大切である．
(設定の例)
①
円や球があれば，その中心を原点または座標軸上におく．
②
直角である部分があれば，直角を作る角の頂点を原点におく．
③
線対称な図形であれば，対称軸を座標軸に一致させる．
2．不等式で表された立体の体積
①
方程式，不等式と立体
ある方程式，不等式が与えられたとき，それを満たす点 ( x , y, z ) を座標空間に図
示すると，ある立体を表すことがある．このとき，方程式で用いられていない文字に
関しては，任意の値をとる，とする．
例
座標空間で， x 2 + y2 =
1 の表す立体は， z 軸を軸とする半径 1 の円筒である．
( z について言及がないので， z は任意)
xy 平面上で中心が原点で半径が 1 の円を表す方程式は， x 2 + y2 =
1 かつ z = 0
②
不等式で表された立体の体積
不等式を用いて立体が表されている場合，平面 z = t によって立体を切断したとき
の断面は，その不等式に z = t を代入して得られる不等式の表す領域となる．それを
xy 平面に正射影した図形で断面積を求めればよい．
2
第 6 章積分法の応用
曲線上の点 ( x , y ) が，媒介変数 t を用いて x = t − sin t ， y= 1 − cos t ( 0 ≦t ≦ 2π ) と表さ
れる曲線と x 軸とで囲まれる図形を x 軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ．
点 O を中心とする半径 r の円を底面とする円柱を，底面の直径
(
)
π である平面で切断し
AB を通り，底面とのなす角が θ 0 < θ <
2
た．このとき，平面の下側にある立体の体積を求めよ．
次の不等式で与えられる立体の体積を求めよ．
 0 ≦ z ≦ xy − 2x − 2 y + 4

 0 ≦ y ≦ 2x
 0 ≦ x ≦ 1
3
第 60 講体積①
放物線 =
y x 2 − 1 と直線 y= x + 1 で囲まれる部分を， x 軸の周りに回転させてできる立
体の体積を求めよ．
xy 平面上の曲線 y = sin x ( 0 ≦ x ≦ π ) 上の点を P ( x , sin x , 0 ) とし，点 P から x 軸に引
いた垂線と x 軸との交点を Q ( x , 0, 0 ) とする．このとき，辺 PQ を 1 辺とする正三角形
PQR が通過してできる立体の体積を求めよ．ただし，R の z 座標は正であるとする．
2 つの円柱 P1 : x 2 + z 2 ≦ 1 ， P2 : y2 + z 2 ≦ 1 の共通部分の立体の体積を求めよ．
4

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