線形数学講義メモ (10 月 9 日)

線形数学講義メモ (10 月 9 日)
本日の講義の要点
1. 基底
基底の定義は 1 年次に学習したものと基本的に同じである．ただしここでは無限次元の線形空間も
扱っているので，無限個のベクトルの組が基底になることもある．例えば x についての多項式全体の集
合において {xn | n ∈ N} は基底である．ただしこの講義では基底は有限個のベクトルの組のみを扱う．
2. 命題 1.4
V の基底として n 個のベクトルの組が取れるとき，V の n + 1 個以上のベクトルからなる組は 1 次独
立にならない．これは未知数の数が式の数より大きい同次連立 1 次方程式の解が 1 つ以上の文字 (任意
定数) を用いて表されることから証明できる．結果として V の基底をなすベクトルの個数は一定である
ことが示される．n + 1 個以上のベクトルの組は 1 次独立でないので基底にならないし，n − 1 個以下の
ベクトルで基底が作られたら，最初の n 個のベクトルの組が基底であることに矛盾してしまう．
3. V のベクトルの有限列 P と K n から V への写像 ΦP
P = {⃗p1 , ⃗p2 , . . . , ⃗pn } を V の要素を成分とする行ベクトルとみなせば 1 次結合は
∑
(
x j ⃗p j = ⃗p1
⃗p2
···
 
 x1 
)  x2 
⃗pn  .  = Px
 .. 
 
xn
と表せる．そこで写像 ΦP : K n −→ V を (x) = Px と定める．
ΦP について次が成り立つ．
• ΦP が全射であることと P が V を生成することは同値である．
• ΦP が単射であることと P が 1 次独立であることは同値である．
• ΦP が全単射であることと P が V の基底であることは同値である．
それぞれの証明は ΦP (x) が P の 1 次結合であることを使う．証明は基本的なので考えておくように．
4. 有限次元線形空間の基底と座標（命題 1.5）
P が基底のとき x = (ΦP )−1 (⃗x) を ⃗x の基底 P に関する ⃗x の座標と呼ぶ．座標を定めることにより，1
年次で学習した線形代数の結果が使えるようになる．
基底の変換と座標の変換について考察した．2 つの基底 P = {⃗p1 , . . . , ⃗pn } と Q = q¸1 , . . . , ⃗
qn } の変換の
行列は
⃗q j =
∑
ai j ⃗pi ,
Q = PA
と表示される．このとき P に関する ⃗x の座標を x，Q に関する座標を y とすれば x = Ay が成り立つ．
この関係は次のような式の変形で理解できる．
⃗x = Qy = PAy = Px
5. 部分空間
線形空間 V の空でない部分集合が，和とスカラー倍の演算について閉じているとき部分空間という．
V が有限次元のとき
• 0 ≦ dim W ≦ dim V
• dim W = 0 ⇐⇒ W = {⃗0}，dim W = dim V ←→ W = V
最初の不等式については W の dim V + 1 個以上のベクトルの組が 1 次従属になること（命題 1.4），次
の等号条件については W の基底を延長して V の基底を作る操作を利用する．次元が等しければ付け加
えられるべきベクトルはなく，W の基底がそのまま V の基底になる．
6. 共通部分，合併，和空間
基本的に 1 年次の線形代数で学習したことだが，2 つの部分空間の共通部分はやはり部分空間にな
る．逆に合併集合については一般には部分空間にならない．そこで和空間が導入される．以下の詳しい
議論は次回の講義で行おう．
本日の提出課題とヒント
問題 1.6，問題 1.8，問題 1.11（定理 1.6 を定理 1.7 に訂正する）を出題する．ヒントはなし．

Download Report