2015 年度線型代数学練習問題プリント No.2 練習問題 (計量線型空間) ◎グラム・シュミットの直交化は,順序によって結果が異なることに注意. 3 36. R を標準内積により,実計量空間と見なす.次のベクトルの組にグラム・シュミットの直交 化法を適用することで,R3 の正規直交系を構成せよ. −2 1 3 1 1 1 (2) −1 , 5 , 6 (1) 2 , 0 , 3 2 1 2 1 −4 −5 37. 実数を係数とする,2次以下の 1 変数多項式全体 P2 (R) := {a0 + a1 x + a2 x2 | ai ∈ R} の基 ∫ 1 底として 1, x, x2 を採用することができる.P2 (R) の内積 ⟨f, g⟩ := f (x) g(x) dx に関し −1 て,1, x, x2 にグラム・シュミットの直交化法を適用することにより,P2 (R) の正規直交基底 を構成せよ. 38. 前問と同じ状況の下で,x + 1 と直交するような P2 (R) の元を全て求めよ. 39. x を不定元とし,実数を係数とする 1 変数多項式全体の集合を P(R) で表す.ここで f, g ∈ ∫ ∞ 2 P(R) に対し,⟨f, g⟩ := f (x) g(x) e−x dx とすると,これは P(R) 上の内積になる. −∞ n 2 d 2 n = 0, 1, 2, . . . に対して Hn (x) := (−1)n ex e−x (エルミート多項式という) とするとき, n dx 次の問に答えよ. (1) Hn (x) は,n 次多項式であり,xn の係数は 2n であることを,数学的帰納法で示せ. (2) m > n なら ⟨Hm (x), Hn (x)⟩ = 0 であることを示せ. √ (3) ⟨Hn (x), Hn (x)⟩ = 2n n! π であることを確かめよ. 40. 標準エルミート内積により,C 2 と C 3 を複素計量空間と見なす.次のベクトルの組にグラム・ シュミットの直交化法を適用することで,正規直交系を構成せよ. ( ) ( ) 1+i 2 i 1 1+i (1) , (2) 1 , 1 , −i i 2i −i i −i 41. (お約束) 以下の略解の誤りを全て正せ. 練習問題略解 1 2 2 1 2 0 1 1 1 1 1 1 2 , −2 , 1 . (2) √ −1 , √ 1 , √ 1 36. (1) 3 3 3 3 6 −1 2 1 2 1 −2 1 √ √ 1 6 10 37. √ , x, (3x2 − 1) 4 2 2 38. k(3x2 − 1) + ℓ(3x − 1) (k, ℓ ∈ R) と表される多項式. 2 2 39. (1) Hn (x) の定義より,Hn+1 (x) = −ex {Hn (x) e−x }′ であることを使え.(2) 部分積分を繰り返せば, m 2 d e−x Hn (x) の積分になる.(1) の結果より,この被積分関数は 0. (3) (2) と同様に計算し,(1) の dxm 2 結果を使うと,2n n!e−x の積分になる. ( ) ( ) 1+i 2 2i 1 1 1 1 −1 + i 1 1 1 , 1 + i , −1 − 3i. 40. (1) √ . (2) , 2 1+i 2 4 4 2 i −i 1 + 3i 1+i 講義プリントの問の略解 問 2.4.1 W ⊥ の定義に従って確かめればよい.(S0) が満たされることは命題 2.1.2 または 2.3.4 の (5) からわか る.また (S1) については,x1 , x2 ∈ W ⊥ なら全ての w ∈ W に対して ⟨x1 , w⟩ = ⟨x2 , w⟩ = 0 である. これと (IP1) を用いて,全ての w ∈ W に対して ⟨x1 + x2 , w⟩ = 0 であることを導けばよい.(S2) に ついても同様. 問 2.4.2 (1) x′ ∈ W は w1 , . . . , wr が W の基底であることから明らかでしょう.x′′ ∈ W ⊥ は ⟨x′′ , wi ⟩ = 0 (i = 1, . . . , r) と w1 , . . . , wr が W の基底であることからわかる. (2) x ∈ W かつ x ∈ W ⊥ であることを使って ⟨x, x⟩ の値を求め,(IP3) を使うとよい. (1) より V = W + W ⊥ であり,(2) と命題 1.4.3(プリント 4 ページ) より V = W ⊕ W ⊥ である. 問 2.4.3 (1) まず直交補空間の定義から W ⊂ (W ⊥ )⊥ であることを導け.次に次元公式を使うと,dim(W ⊥ )⊥ = dim V − dim W ⊥ = dim V − (dim V − dim W ) = dim W となるので,定理 1.7.6(プリント 9 ページ) より W = (W ⊥ )⊥ である. (2) 直交補空間の定義と和空間の定義を使えばできる.⊂ の包含関係は,W1 ⊂ W1 +W2 , W2 ⊂ W1 +W2 であることを使えば確かめられる.⊃ の包含関係はほぼ明らか. (3) (2) の W1 , W2 を W1⊥ , W2⊥ で置き換えた式を考え,(1) の公式を使うとよい.
© Copyright 2024 ExpyDoc