練習問題 No.2

2015 年度線型代数学練習問題プリント No.2
練習問題 (計量線型空間)
◎グラム・シュミットの直交化は，順序によって結果が異なることに注意．
3
36. R を標準内積により，実計量空間と見なす．次のベクトルの組にグラム・シュミットの直交
化法を適用することで，R3 の正規直交系を構成せよ．
     
     
−2
1
3
1
1
1
     
     
(2) −1 ,  5  ,  6 
(1) 2 , 0 , 3
2
1
2
1
−4
−5
37. 実数を係数とする，２次以下の 1 変数多項式全体 P2 (R) := {a0 + a1 x + a2 x2 | ai ∈ R} の基
∫ 1
底として 1, x, x2 を採用することができる．P2 (R) の内積 ⟨f, g⟩ :=
f (x) g(x) dx に関し
−1
て，1, x, x2 にグラム・シュミットの直交化法を適用することにより，P2 (R) の正規直交基底
を構成せよ．
38. 前問と同じ状況の下で，x + 1 と直交するような P2 (R) の元を全て求めよ．
39. x を不定元とし，実数を係数とする
1 変数多項式全体の集合を P(R) で表す．ここで f, g ∈
∫ ∞
2
P(R) に対し，⟨f, g⟩ :=
f (x) g(x) e−x dx とすると，これは P(R) 上の内積になる．
−∞
n
2 d
2
n = 0, 1, 2, . . . に対して Hn (x) := (−1)n ex
e−x (エルミート多項式という) とするとき，
n
dx
次の問に答えよ．
(1) Hn (x) は，n 次多項式であり，xn の係数は 2n であることを，数学的帰納法で示せ．
(2) m > n なら ⟨Hm (x), Hn (x)⟩ = 0 であることを示せ．
√
(3) ⟨Hn (x), Hn (x)⟩ = 2n n! π であることを確かめよ．
40. 標準エルミート内積により，C 2 と C 3 を複素計量空間と見なす．次のベクトルの組にグラム・
シュミットの直交化法を適用することで，正規直交系を構成せよ．

    
( ) (
)
1+i
2
i
1
1+i

    
(1)
,
(2)  1  , 1 , −i
i
2i
−i
i
−i
41. (お約束) 以下の略解の誤りを全て正せ．
練習問題略解
 
 
 
 
 
 
1
2
2
1
2
0
1  1  1 
1   1   1  
2 ,
−2 ,
1 . (2) √
−1 , √
1 , √
1
36. (1)
3
3
3
3
6 −1
2 1
2
1
−2
1
√
√
1
6
10
37. √ ,
x,
(3x2 − 1)
4
2 2
38. k(3x2 − 1) + ℓ(3x − 1) (k, ℓ ∈ R) と表される多項式．
2
2
39. (1) Hn (x) の定義より，Hn+1 (x) = −ex {Hn (x) e−x }′ であることを使え．(2) 部分積分を繰り返せば，
m
2 d
e−x
Hn (x) の積分になる．(1) の結果より，この被積分関数は 0. (3) (2) と同様に計算し，(1) の
dxm
2
結果を使うと，2n n!e−x の積分になる．






(
)
( )
1+i
2
2i
1 1
1
1 −1 + i
1
1
1 ,  1 + i , −1 − 3i.
40. (1) √
. (2)
,
2 1+i
2
4
4
2 i
−i
1 + 3i
1+i
講義プリントの問の略解
問 2.4.1 W ⊥ の定義に従って確かめればよい．(S0) が満たされることは命題 2.1.2 または 2.3.4 の (5) からわか
る．また (S1) については，x1 , x2 ∈ W ⊥ なら全ての w ∈ W に対して ⟨x1 , w⟩ = ⟨x2 , w⟩ = 0 である．
これと (IP1) を用いて，全ての w ∈ W に対して ⟨x1 + x2 , w⟩ = 0 であることを導けばよい．(S2) に
ついても同様．
問 2.4.2 (1) x′ ∈ W は w1 , . . . , wr が W の基底であることから明らかでしょう．x′′ ∈ W ⊥ は ⟨x′′ , wi ⟩ = 0
(i = 1, . . . , r) と w1 , . . . , wr が W の基底であることからわかる．
(2) x ∈ W かつ x ∈ W ⊥ であることを使って ⟨x, x⟩ の値を求め，(IP3) を使うとよい．
(1) より V = W + W ⊥ であり，(2) と命題 1.4.3(プリント 4 ページ) より V = W ⊕ W ⊥ である．
問 2.4.3 (1) まず直交補空間の定義から W ⊂ (W ⊥ )⊥ であることを導け．次に次元公式を使うと，dim(W ⊥ )⊥ =
dim V − dim W ⊥ = dim V − (dim V − dim W ) = dim W となるので，定理 1.7.6(プリント 9 ページ)
より W = (W ⊥ )⊥ である．
(2) 直交補空間の定義と和空間の定義を使えばできる．⊂ の包含関係は，W1 ⊂ W1 +W2 , W2 ⊂ W1 +W2
であることを使えば確かめられる．⊃ の包含関係はほぼ明らか．
(3) (2) の W1 , W2 を W1⊥ , W2⊥ で置き換えた式を考え，(1) の公式を使うとよい．

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