対称截線領域の相対調和次元

対称截線領域の相対調和次元
Relative harmonic dimensions
of symmetrically slitted regions
中井三留*, 多田俊政**
MITSURU NAKAI AND TOSHIMASA TADA
Summary
Fix a proper closed subset F of positive real line [0, +∞) and divide the angle at the point at inﬁnity ∞
into n equal angles by equally distributed radial sets ei2(j−1)π/n F (j = 1, 2, · · · , n) for any positive integer
n = 2. We consider the region Dn obtained from the plane by deleting these n radial sets. The purpose of
this paper is to show that the harmonic dimension of Dn at ∞ is 1 (n, resp.) if and only if the harmonic
dimension of D2 is 1 (2, resp.).
キーワードと句: 調和次元, 調和測度, 劣位数, 劣調和, 優調和
Keywords and Phrases: harmonic dimension, harmonic measure, lower order, subharmonic, superharmonic
F を実軸上の区間 [1, ∞) 内の閉集合とし, F の各点は C \ F の Dirichlet 問題に関する正則点とする. 領域


n
∪
Dn = C \ 
ei2(j−1)π/n F 2/n  (n = 2, 3, · · · )
j=1
の ∞ に於ける相対調和次元 dim Dn について次の定理が成立する. この定理は Dn の定義において F 2/n を F に変更し
ても成立する (補題 3 の証明の後の記述参照). なお, Ancona [1], Benedicks [3] により 1 ≤ dim D2 ≤ 2 が, また Ancona
[2], Nakai-Sario [5] により, 1 ≤ dim Dn ≤ n が知られている. 以下 n ≥ 3 とする.
定理. dim D2 = 1 ⇔ dim Dn = 1. dim D2 = 2 ⇔ dim Dn = n.
定理の証明は補題 1–3 による.
補題 1. dim Dn = n ⇒ dim D2 = 2.
証明. u1 , · · · , un を
HP1 (Dn : ∂Dn ) = {h ∈ HP (Dn ; ∂Dn ) : h(0) = 1}

Download Report