No.19

4.8
基底を用いて V と W をそれぞれ K n , K m (但し n = dim V , m = dim W ) と同一視し，T を表
線形写像の像と核
す行列を A とすれば，この定理の証明は TA : K n → K m の場合に帰着できるが，直接的な証明
線形写像 T : V → W に対し，W の部分集合
も書いておこう．
{T (x) | x ∈ V }
(証明) a1 , . . . , am を KerT の基底とする．定理 4.3.5 により，これにベクトル am+1 , . . . , an を付け加えて，
a1 , . . . , am+n が V の基底であるようにできる．
このとき，T (a1 ) = 0, . . . , T (am ) = 0 であるので，ImT = Span⟨T (am+1 ), . . . , T (am+n )⟩ である．もし
T (am+1 ), . . . , T (am+n ) が線形独立なら，これらは ImT の基底になるので，dim(KerT ) = m, dim V = m+n,
dim(ImT ) = n となり，定理の証明が完結する．
よって T (am+1 ), . . . , T (am+n ) が線形独立であることを示す．
を T の像 (image) といい，ImT と表す．また，V の部分集合
{x ∈ V | T (x) = 0}
を T の核 (kernel) といい，KerT と表す．
k1 T (am+1 ) + · · · + kn T (am+n ) = 0 ならば，線形写像の条件より T (k1 am+1 + · · · + kn am+n ) = 0 であ
命題 4.8.1 T : V → W を線形空間 V から線形空間 W への線形写像とする．このとき ImT は
る．よって k1 am+1 + · · · + kn am+n ∈ KerT であるので，ℓ1 , . . . , ℓm ∈ K をうまく取れば，k1 am+1 + · · · +
W の部分空間であり，KerT は V の部分空間である．
kn am+n = ℓ1 a1 + · · · + ℓm am とできる．ここで a1 , . . . , am+n は V の基底なので線形独立であることか
ら，k1 = · · · = kn = ℓ1 = · · · = ℓm = 0 である．これにより T (am+1 ), . . . , T (am+n ) が線形独立であるこ
問 4.8.1 命題 4.7.1(1) と線形写像の条件 (L1), (L2) を使うことにより，KerT は V の部分空間
とがわかった． (証明終わり)
であることを示せ．(部分空間の条件 (S0), (S1), (S2) が満たされることを確かめればよい．)
新たな言葉を導入したが，これは既に学んでいるものを一般化したものである．即ち，
(
命題 4.8.2 TA が m × n 行列 A = a1
...
)
an より定まる K n から K m への線形写像
TA (x) = Ax
(x ∈ K n )
であるとき，像 ImTA は行列 A の列ベクトル a1 , . . . , an によって生成される K m の部分空間
Span⟨a1 , . . . , an ⟩ であり，核 KerTA は連立 1 次方程式
Ax = 0
の解空間である．
この命題の状況で考えると，像 ImTA の次元は Span⟨a1 , . . . , an ⟩ の次元であるから，a1 , . . . , an
の中で線形独立なベクトルの最大数に等しい．これらのベクトルは行列 A の列ベクトルであるか
ら，行列の階数（ランク）の性質により，dim(ImTA ) は A の階数 r(A) に等しい．
そこで一般に (つまり T が行列で定められていない状況でも)，線形写像 T の像の次元を T の
階数といい，r(T ) で表す．
一方，KerTA の次元は連立 1 次方程式 Ax = 0 の解空間の次元であり，これは n − r(A) に等
しい．以上により，
dim(KerTA ) + dim(ImTA ) = n = dim K n
となるが，この K n は今の場合，TA : K n → K m の定義域である．
もっと一般に，T が有限次元ベクトル空間 V から W への線形写像であるとき，次が成り立つ．
定理 4.8.3 V , W を有限次元ベクトル空間とする．線形写像 T : V → W に対し，
dim(KerT ) + dim(ImT ) = dim V
が成り立つ．
34
定理 5.1.1 λ が A の固有値であることと λ が固有方程式 ΦA (λ) = 0 の解であることは同値で
ある．
λ が固有値であるなら，λ に対する固有ベクトルは
第 5 章行列の対角化
Ax = λx
⇔
(λIn − A)x = 0
を満たすベクトルであるから，これを未知数 x に関する連立 1 次方程式とみて解けば，固有ベク
5.1
トルが求められる．
固有値と固有ベクトル
以上が固有値・固有ベクトルの計算方法である．
平面上の線形変換のなかで、対角行列より定まるもの
( ) (
)( )
x
α 0
x
T
=
y
0 β
y
は x 方向に α 倍，y 方向に β 倍するだけなので，比較的捉えやすいものである．このように線形
変換 T : V → V があるとき，T によって保たれる方向がわかると T の性質が捉えやすくなる．そ
こで次のように定義する．
T : V → V を V 上の線形変換とする．
T (x) = λx
となるベクトル x ̸= 0 とスカラー λ があるとき，λ を T の固有値といい，x を固有値 λ に対す
る固有ベクトルという．またこのとき，V の部分空間
Ker(T − λ) = {v ∈ V | T (x) = λx}
を固有値 λ に対する T の固有空間という．
特に V = K n で T が n 次正方行列 A より定まる K n 上の線形変換
T (x) = Ax,
x ∈ Kn
のとき，T の固有値・固有ベクトル・固有空間を行列 A の固有値・固有ベクトル・固有空間という．
5.1.1
行列の固有値・固有ベクトルの求め方
A を n 次正方行列とするとき，λ に関する n 次多項式
ΦA (λ) = det(λIn − A)
を A の固有多項式（または特性多項式）といい，方程式
ΦA (λ) = 0
を A の固有方程式（または特性方程式）という．このとき次が成り立つ．
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