12 ベクトル空間 II

線形代数学 B
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12
12.1
ベクトル空間 II
1 次結合と 1 次独立性
V を K 上のベクトル空間とする.
ベクトルの 1 次結合
x1 , x2 , . . . , xr ∈ V とするとき,

t1

 

)
 t2 
t1 x1 + t2 x2 + · · · + tr xr = x1 x2 . . . xr  . 
 .. 
 
tr
(
(t1 , t2 , . . . , tr はスカラー) なる形のベクトルを x1 , x2 , . . . , xr の 1 次結合という. また, そのようなベク
トル全体のなす集合を x1 , x2 , . . . , xr が張る空間といい, ⟨x1 , x2 , . . . , xr ⟩ で表す. 容易にわかるように,
⟨x1 , x2 , . . . , xr ⟩ は V の部分空間である. V が有限個のベクトルによって張られるとき, V は有限生成であ
るという.
次の命題と系は, 命題 6.6 や系 6.7 と同様にして示される:
命題 12.1 x1 , x2 , . . . , xr ∈ V と y 1 , y 2 , . . . , y s ∈ V に対して次の条件 (a)–(c) は互いに同値である:
(a) ⟨y 1 , y 2 , . . . , y s ⟩ ⊂ ⟨x1 , x2 , . . . , xr ⟩.
(b) y 1 , y 2 , . . . , y s ∈ ⟨x1 , x2 , . . . , xr ⟩.
(
) (
)
(c) y 1 y 2 . . . y s = x1 x2 . . . xr A となるような (r, s) 型の行列 A が存在する.
系 12.2 x1 , x2 , x3 , . . . ∈ V とするとき
{ 0 } ⊂ ⟨x1 ⟩ ⊂ ⟨x1 , x2 ⟩ ⊂ ⟨x1 , x2 , x3 ⟩ ⊂ · · · .
また
⟨x1 , x2 , . . . , xi−1 ⟩ = ⟨x1 , x2 , . . . , xi−1 , xi ⟩
ベクトルの 1 次独立性
⇐⇒
xi ∈ ⟨x1 , x2 , . . . , xi−1 ⟩.
x1 , x2 , . . . , xr ∈ V は, t1 x1 +t2 x2 +· · ·+tr xr = 0 をみたすスカラー t1 , t2 , . . . , tr
が t1 = t2 = · · · = tr = 0 に限るとき 1 次独立であるといい, そうでないとき 1 次従属であるという.
例 12.3 X を空でない集合, f1 , f2 , . . . , fr ∈ Map(X, K) とするとき,
f (x ) f (x ) . . . f (x ) 2 1
r 1 1 1
f1 (x2 ) f2 (x2 ) . . . fr (x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ̸= 0
f1 (xr ) f2 (xr ) . . . fr (xr ) となるような (相異なる) x1 , x2 , . . . , xr ∈ X が存在するならば, f1 , f2 , . . . , fr は 1 次独立である. 実際,
t1 f1 (x) + t2 f2 (x) + · · · + tr fr (x) = 0 が任意の x ∈ X に対して成り立ったとすると, 特に x = x1 , x2 , . . . , xr
12 ベクトル空間 II
として
9
 
t1




 f1 (x2 ) f2 (x2 ) . . . fr (x2 )   t2 

 . 
=0
 ......................... 
. 


. 
f1 (xr ) f2 (xr ) . . . fr (xr )
tr

f1 (x1 )
f2 (x1 ) . . . fr (x1 )
が得られるから, 仮定により t1 = t2 = · · · = tr = 0 がわかる.
問 12.4 α を実数とし, f0 , f1 , . . . , fr ∈ Map(R, R) を fk (x) := xk eαx により定めるとき, これらの函数は 1
次独立であることを示せ.
次の 2 つの命題は, 命題 6.16 や命題 6.17 と同様にして示される:
命題 12.5 x1 , x2 , . . . , xr ∈ V が 1 次独立であるためには
{ 0 } ( ⟨x1 ⟩ ( ⟨x1 , x2 ⟩ ( · · · ( ⟨x1 , x2 , . . . , xr ⟩
が成り立つことが必要かつ十分である.
命題 12.6 x1 , x2 , . . . , xr ∈ V とするとき, y 1 , y 2 , . . . , y s ∈ ⟨x1 , x2 , . . . , xr ⟩ かつ s > r であるならば
y 1 , y 2 , . . . , y s は 1 次従属である.
(
)
問 12.7 x1 , x2 , . . . , xr ∈ V が 1 次独立であるとき, r 次の正方行列 A に対し, y 1 y 2 . . . y r =
(
)
x1 x2 . . . xr A により定まる y 1 , y 2 , . . . , y r ∈ V が 1 次独立であるためには A が正則であることが
必要かつ十分であることを示せ.
12.2
基底と次元
V ̸= { 0 } を K 上のベクトル空間とするとき, V = ⟨x1 , x2 , . . . , xn ⟩ をみたす 1 次独立なベクトル
x1 , x2 , . . . , xn を V の基底という.
例 12.8 n 次の基本ベクトル e1 , e2 , . . . , en は K n の基底を与える (K n の標準的な基底という).
注意 12.9 x1 , x2 , . . . , xn ∈ V とするとき, 命題 11.16 より
(
)
ψx1 ,x2 ,...,xn : K n ∋ t 7−→ x1 x2 . . . xn t ∈ V
は線型な写像で,
ψx1 ,x2 ,...,xn は全射 ⇐⇒ V = ⟨x1 , x2 , . . . , xn ⟩,
ψx1 ,x2 ,...,xn は単射 ⇐⇒ x1 , x2 , . . . , xn は 1 次独立
が成り立つ.
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線形代数学 B
有限生成なベクトル空間の基底は §7.1 と同様の手順で求めることができて, 定理 7.4 と同様に次が成り
立つ:
定理 12.10 K 上の有限生成なベクトル空間 V ̸= { 0 } は基底をもつ. さらに:
(1) 1 次独立な x1 , x2 , . . . , xr ∈ V が与えられたとき, x1 , x2 , . . . , xr , xr+1 , xr+2 , . . . , xn が V の基底と
なるような xr+1 , xr+2 , . . . , xn が存在する.
(2) 基底に用いられるベクトルの個数は基底の選び方に依らず一定である.
V の基底に用いられるベクトルの個数を V の次元といい, dim V で表す. ただし V = { 0 } のときには
dim V = 0 と定める. また, 有限生成であることを有限次元であるともいう.
注意 12.11 V が有限生成でない場合には, 1 次独立なベクトルが無数に多く存在し, (有限個のベクトルよ
りなる) 基底は存在しない. このとき V は無限次元であるといい, dim V = ∞ と表す.
例 12.12 記号は例 11.14 の通りとするとき, 1, t, t2 , . . . は 1 次独立であるから, 1, t, . . . , tn は R[t]n の基底
を与える. 従って dim R[t]n = n + 1. また dim R[t] = ∞ である.
12.3
次元公式
V, V ′ を K 上の有限次元ベクトル空間とし, f : V → V ′ を線型写像とする. いま r = dim(Im f ) と置き,
Im f の基底 u1 , u2 , . . . , ur と u1 = f (x1 ), u2 = f (x2 ), . . . , ur = f (xr ) となるような x1 , x2 , . . . , xr ∈ V
をとる. また s = dim(Ker f ) と置き, Ker f の基底 xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s をとる. このとき, x1 , x2 , . . . , xr ,
xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s は V の基底を与える. そのことを確かめるためには, 次を示せばよい:
(a) x1 , x2 , . . . , xr , xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s は 1 次独立.
(b) 任意の x ∈ V は x1 , x2 , . . . , xr , xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s の 1 次結合で表せる.
まず, (a) を示すために
t1 x1 + t2 x2 + · · · + tr xr + tr+1 xr+1 + tr+2 xr+2 + · · · + tr+s xr+s = 0
をみたすスカラー t1 , t2 , . . . , tr+s をとると, f で写して
f (t1 x1 + t2 x2 + · · · + tr xr + tr+1 xr+1 + tr+2 xr+2 + · · · + tr+s xr+s ) = 0
を得る. ここで, f の線型性と xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s ∈ Ker f より, 左辺は
t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ) + · · · + tr f (xr ) = t1 u1 + t2 u2 + · · · + tr ur
と等しいことがわかるから, u1 , u2 , . . . , ur の 1 次独立性より t1 = t2 = · · · = tr = 0 を得る. よって
tr+1 xr+1 + tr+2 xr+2 + · · · + tr+s xr+s = 0
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となり, xr+1 , xr+2 , . . . , xr+s の 1 次独立性より tr+1 = tr+2 = · · · = tr+s = 0 がわかる.
次に, (b) を示すために x ∈ V を任意にとると, f (x) ∈ Im f より
f (x) = t1 u1 + t2 u2 + · · · + tr ur
となるようなスカラー t1 , t2 , . . . , tr が存在する. このとき
(
)
f x − (t1 x1 + t2 x2 + · · · + tr xr ) = f (x) − (t1 u1 + t2 u2 + · · · + tr ur ) = 0
より x − (t1 x1 + t2 x2 + · · · + tr xr ) ∈ Ker f がわかるから,
x − (t1 x1 + t2 x2 + · · · + tr xr ) = tr+1 xr+1 + tr+2 xr+2 + · · · + tr+s xr+s
となるようなスカラー tr+1 , tr+2 , . . . , tr+s が存在する.
以上の議論により, 特に次の定理が得られる:
定理 12.13 (次元公式) V, V ′ を K 上の有限次元ベクトル空間, f : V → V ′ を線型写像とするとき
dim(Im f ) + dim(Ker f ) = dim V.
§7.2 で述べた次元公式 (定理 7.10) は, この定理から直ちに得られる.
問 12.14 記号や仮定は上の通りとして, 次が成り立つことを示せ (cf. 定理 5.14):
(1) f が全単射であれば dim V = dim V ′ .
(2) dim V = dim V ′ とするとき, f が全射であることと単射であることは互いに同値.
演習問題
12.1 f1 , f2 , . . . , fr を開区間 (a, b) 上の r − 1 回微分可能な実数値函数とし,
f (x)
f2 (x)
...
fr (x) 1
f1′ (x)
f2′ (x)
...
fr′ (x) Wf1 ,f2 ,...,fr (x) := .................................. (r−1)
(r−1)
(r−1)
f
(x) f2
(x) . . . fr
(x) 1
と置く (このような行列式を Wronski 行列式という). このとき, Wf1 ,f2 ,...,fr (x0 ) ̸= 0 となるような
x0 ∈ (a, b) が存在するならば, f1 , f2 , . . . , fr は 1 次独立であることを示せ.
12.2 α1 , α2 , . . . , αr を相異なる実数とし, f1 , f2 , . . . , fr ∈ Map(R, R) を fk (x) := eαk x により定めるとき,
これらの函数は 1 次独立であることを示せ.
12.3 集合 { f (t) ∈ R[t] ; deg f (t) ≤ 3, f (1) = 0 } は R[t] の部分空間であることを示せ. また, その基底
を求めよ.
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線形代数学 B
12.4 V を K 上の有限次元ベクトル空間とするとき, V の部分空間 W1 , W2 に対して次が成り立つことを
示せ (cf. 問 11.10):
dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 )
(この等式を次元公式と呼ぶこともある).
12.5 a0 , a1 , . . . , an を相異なる実数とするとき, 写像
(
)
ε : R[t]n ∋ f (t) 7−→ t f (a0 ), f (a1 ), . . . , f (an ) ∈ Rn+1
は全単射であることを示せ.

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