（定理 1-1）b1, ··· , の元 bs+1, ··· , bs, bs+1, ··· , an⟩R ̸= {0} のとき

10 月 22 日
（定理 1）Rn の部分空間 V は基底を有する. V の基底は一意的ではないが, 各基底は等しい本数のベクトルからなる. V の
基底の本数を V の次元と呼び, dimR V (= dim V ) で表す. これは, V に含まれる一次独立なベクトルの最大本数に等しい.
証明は, 以下の 3 定理から得られる.
（定理 1-1）b1 , · · · , br ∈ Rn が部分空間 V の基底であるとき, V の元のうち一次独立なものの最大本数は r である. いいか
えると, r + 1 本以上の V の元は一次従属である.
（定理 1-2[基底の延長定理] V ̸= {0} を Rn の部分空間とする. b1 , · · · , bs ∈ V が R 上一次独立ならば, これに適当に V
の元 bs+1 , · · · , br を加えて, V の基底 b1 , · · · , bs , bs+1 , · · · , br を作ることができる.
（定理 1-3）[生成系の省約定理] V = ⟨a1 , · · · an ⟩R ̸= {0} のとき, 生成系 a1 , · · · , an から適当に部分集合を選んで V の基
底とすることができる.
（注意 1）Rn の部分空間 V , W について以下が成り立つ.
• W ⊆ V をみたせば, dim W ≤ dim V である.
• W ⊆ V かつ dim W = dim V なら, W = V である.
• a1 , · · · , an ∈ Rn が一次独立なら, ⟨a1 , · · · , an ⟩R = Rn である.
1. 問題集 p51, 問題 17 (2), (4) （各自採点を済ませておくこと）
2. Rn の部分空間 X, Y に対して, X + Y = {x + y | x ∈ X, y ∈ Y } および X ∩ Y は, Rn の部分空間である．これを
示せ．

x



x
y

3. R4 の部分空間 U = {
z

y


 ∈ R4 | x + y = z + w = 0}, V = {

z
w
w

x
y

W = {
z



 ∈ R4 | x − y = z + w = 0},



 ∈ R4 | x − y = z − w = 0} について，以下の部分空間の基底と次元を調べよ.

w
Rn ,
U, V,
W, U ∩ V, U ∩ W, U + V,
4. 前問の U , V , W について答えよ.


2
 0 


(1) a = 
 ∈ U + V に対し, a = u + v なる u ∈ U , v ∈ V は何か.
 1 
−1
 
2
0
 
(2) b =   ∈ U + W に対し, b = u′ + w′ なる u′ ∈ U , w′ ∈ W は何か.
1
1
6
U + W.

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