ベクトルの平行と分解

ベクトルの平行と分解
数学 II・B 授業ノート
1 ベクトルの平行
⃗0 でない 2 つのベクトル ⃗a，⃗b の向きが同じか，または反対であるとき，⃗a，⃗b は平行であるといい，⃗a // ⃗c と表す．
ベクトルの平行について，実数倍の定義から，次のことが成り立つ．
⃗
a ̸= ⃗0，⃗b ̸= ⃗0 のとき，
⃗
a
//
⃗b ⇐⇒ ⃗
a = k⃗bとなる実数 k がある
k > 0 のとき，⃗a と ⃗b は同じ向きに平行であり，k < 0 のとき，⃗a と ⃗b は反対の向きに平行である．
⃗a
⃗b
1
1
任意のベクトル ⃗a に対して，例えば ⃗a を，− ⃗b を − のように表すことがある．また，一般に次のことが
4
4
3
3
言える．
⃗
a
⃗
aに平行な単位ベクトルは ±
|a|
2 ベクトルの分解
2 つのベクトル ⃗a，⃗b に対して，適当な実数 s，t を用いて，s⃗a + t⃗b と表されるベクトルのことを ⃗a と ⃗b の 1 次
結合という．
また，⃗a と ⃗b が ⃗0 でなく，なおかつ平行でないとき，⃗a と ⃗b は 1 次独立であるという．言い換えると，s⃗a + t⃗b = ⃗0
を満たすのは (s, t) = (0, 0) のときに限るということである．さらに，次のことが言える．
⃗
a と ⃗b が 1 次独立であるとき，平面上の任意のベクトル ⃗
x は任意の実数 s，t を用いて，
⃗
x = s⃗
a + t⃗b
と表され，その s と t はただ 1 組に決まる．
−→
−→
−→
(証明) 平面上に 1 点 O を決めて，⃗a = OA，⃗b = OB，⃗x = OX となるように，点 A，B，X をとる．点 X を通っ
て，直線 OB，OA に対してそれぞれ平行になるような直線を引き，直線 OA，OB と交わる点をそれぞれ P，
Q とする．
1
このとき，
−→ −→ −→
OX = OP + OQ
であり，P，Q はそれぞれ直線 OA，OB 上の点なので，ある実数 s，t を用いて，
−→
−→
OP = sOA = s⃗a,
−→
−→
OQ = tOB = t⃗b
で表される．したがって，⃗x は
⃗x = s⃗a + t⃗b
である．
次に s，t はただ 1 組であることを証明する．⃗x が
⃗x = s⃗a + t⃗b,
⃗x = s′⃗a + t′⃗b
の 2 通りで表されたとする．このとき，
s⃗a + t⃗b = s′⃗a + t′⃗b
だから，
(s − s′ )⃗a + (t − t′ )⃗b = ⃗0
となる．したがって，⃗a と ⃗b は 1 次独立であるので
s − s′ = 0 かつ t − t′ = 0
だから，s = s′ ，t = t′ となり，s と t は 1 組に決まる．■
−→
−→
−→
• 正六角形 ABCDEF において，対角線の交点を O とする．AB = ⃗a，AF = ⃗b とするとき，BD を ⃗a と ⃗b で表
してみよう．
−→ −→ −→ −→ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
BD = BO + OC + CD = b + a + b = a + 2⃗b
となる．
2
3 演習問題
1. ⃗e を単位ベクトルとするとき，これと平行な大きさが 5 であるベクトルを求めよ．
2. |⃗a| = 6 であるとき，⃗a 平行な単位ベクトルを求めよ．
−→
−→
3. 正六角形 ABCDEF において，対角線の交点を O とする．AB = ⃗a，AF = ⃗b とするとき，次のベクトルを ⃗a
と ⃗b で表せ．
−→
(a) AD
−→
(b) CA
−→
(c) BF
3

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