（第２時限：１ ０ ０分） ２ ０ １ ５年度 ! 数 学 （理 問 題 系） （全４ページ） 注 意 事 項 １．試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。 ２．問題文の にあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄 に記入しなさい。 ３．解答用紙１枚・下書用紙２枚は，この冊子の中に折り込んであります。 ４．試験終了後，問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。 ! （Mab ） 数 学 ! "，#，$の設問について問題文の 次の ， にあてはまる適当なものを， 解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 " 整式 A( x ) は次の条件を満たす。 （１） x２ ＋２x ＋１ で割った余りは ３x ＋８ である。 （２） x２ ＋ x −６ で割った余りは − x ＋１６ である。 〔１〕 A( −１) ＝ で割った余りは ア ウ ，A(２) ＝ で あ る か ら，A( x ) を x２ − x −２ イ である。 〔２〕 A( x ) を B ( x ) ＝ x３ ＋２x２ −５x −６ で割った余りは エ A( x ) を B ( x ) で割った商を，さらに x ＋１ で割った余りは である。また， オ である。 〔３〕 条件（１） ， （２）を満たす A( x ) のうち，次数が最も低い整式は A( x ) ＝ カ である。 ― １ ― ! （Mab ） " ! ! 座標平面上に異なる２点 A ( a )，B ( b ) がある。２点 A，B を通る直線を l とす ! る。l 上の点 P ( p ) は媒介変数 t（ t は実数）の１次式を用いて !p ＝# % $!a ＋# & % キ $!b & ク ! ! ! ! と表せる。ただし t ＝０ のとき p ＝ a，t ＝１ のとき p ＝ b であるものとする。 ! ! さらに，直線 l 上にない点 C ( c ) と点 P を通る直線 CP 上の点 Q ( q ) は，t と異な る媒介変数 s（ s は実数）の１次式を用いて !q ＝# % $!p ＋# & % ケ $!c & コ ! ! ! ! と表せる。ただし s ＝０ のとき q ＝ c，s ＝１ のとき q ＝ p であるものとする。 ! したがって，q は s，t を用いて !q ＝# % と表せる。 サ ! $ & a ＋# % ! シ $&!b ＋#% ! ス $&!c ! 以下においては，a ＝ (０，１)，b ＝ (２，２)，c ＝ (０，−１) の場合を考える。 直線 CP と x 軸の交点が存在するとき，その交点を W と表す。交点 W は点 Q が x 軸上にあるときと考えられる。このとき s は t を用いて s＝ セ （ただし t ! ソ ） と表せる。したがって，交点 W の x 座標 w は t を用いて w＝ タ と表せる。このように，w は t の関数となるので w( t ) と表す。 この w( t ) において t →∞とすると，交点 W はある点に限りなく近づく。すなわ ち lim w( t ) ＝ t →∞ チ ! である。また，正の定数 k を用いて kp で表される直線 lk を考える。lk 上の点を Rk とし，直線 CRk と x 軸の交点を Zk とする。t →∞とすると，交点 Zk は交点 W と同 様に，ある点に限りなく近づく。すなわち交点 Zk の x 座標 zk( t ) について lim zk( t ) ＝ t →∞ ツ である。 ― ２ ― ! （Mab ） " 自然数 n に対して，関数 y ＝ fn( x ) を y ＝ fn( x ) ＝ １ x ・ n ＋１ １＋ n２ x２ とする。 〔１〕 y ＝ fn( x ) の漸近線の方程式は テ (x)＝ fn′ で， ト である。fn( x ) の最大値を Mn と表すと Mn ＝ ナ となる。このとき， lim Mn ＝ ニ n →∞ " M ＝ ! !!! n ヌ となる。 〔２〕 曲線 y ＝ fn( x ) と x 軸および直線 x ＝２ によって囲まれる図形の面積を Sn とすると Sn ＝ ネ となる。 さらに，x 軸，y 軸および２直線 x ＝２，y ＝ Mn によって囲まれる長方形 の面積を In とする。In を Mn を用いて表せば In ＝ ノ lim Sn ＝ ハ であるから， n →∞ となる。 ― ３ ― ! （Mab ） $ １個のさいころを投げて，出た目に応じて数直線上を動く点 A を考える。点 A は原点から出発し，出た目が１，２，３のいずれかの場合（以下では事象 X ）は 正の方向へ５，出た目が４，５のいずれかの場合（以下では事象 Y ）は負の方向 へ１，出た目が６の場合（以下では事象 Z ）は負の方向へ３移動するものとする。 さいころを続けて１ ０回投げるとき，１ ０回目の移動で点 A が原点に戻る確率 P を 次の手順で求める。 〔１〕 １ ０回の試行のうち，事象 X が起こる回数を x，事象 Y が起こる回数を y， 事象 Z が起こる回数を z とすると x ＋ y ＋ z ＝１０ …… ! が成り立つ。一方で，点 A の座標は x，y，z を用いて ヒ と表される。 この値が０となる場合を考えればよい。よって， ヒ ＝０ …… " が成り立つ。 ! " 〔２〕 移動距離の一番大きい事象 X の起こりうる x の値の範囲を求める。 ， よ り，z は x を 用 い て，z ＝ フ と 表 さ れ，そ の と り う る 値 の 範 囲 は ０≦ z ≦１ ０ である。同様に，y は x を用いて，y ＝ ヘ と表され，その とりうる値の範囲は０≦ y ≦１０ である。これらより x のとりうる値の範囲は ホ ≦x ≦ 大きい順に マ ミ となる。さらに，x は整数値であることより，x の値は ， ム となる。このとき，y，z の値は共に整数であ る。 〔３〕 以上より，求める確率 P は メ である。 ― ４ ― # （Mab ）
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