レポート課題 (12 月 4 日出題) の解答例とコメント

レポート課題 (12 月 4 日出題) の解答例とコメント
【問題 2.14 の解答例】
左の行列（A とおく）について，固有多項式は
x+1
|xE − A| = −1
−4
−1
x+4
1
−1
−2 = x3 + 3x2 − 9x − 27 = (x − 3)(x + 3)2
x−2
である．固有値 −3 に対する固有空間は



2 1 1
1 0



A + 3E = 1 −1 2 −→ 0 1



4 −1 5
0 0

1 

−1

0
より次元は 1 なので，固有値 −3 に対するジョルダン細胞は 1 つである．よってジョルダンの標準形は
J(3, 1) ⊕ J(−3, 2) である．
ジョルダンの標準形にする行列は p ∈ Ker(A − 3E) \ {0} と q ∈ Ker(A + 3E)2 \ Ker(A + 3E) をとって
(
P = p (A + 3E)q
)
q と置けばよい．具体的には



1
−4 1
1 



A − 3E =  1 −7 2  −→ 0



0
4 −1 −1
−1
−3
0

0

1

0


2 

1
 9 0 9 
2 1 1





(A + 3E)2 = 1 −1 2 =  9 0 9  −→ 0





0
27 0 27
4 −1 5
などと置いて
(
P = p (A + 3E)q


1 1 0


q = 1 −1 1 ,


3 −1 0
)
より
0
0
0

1

0

0
 
1
 
p = 1
 
3
より
 
0
 
q = 1
 
0


3 0
0 


P AP = 0 −3 1 


0 0 −3
−1
右の行列（ B とおく）について，固有多項式は
|xE − B| =
x−4
2
6
1
x−3
−3
−1
1 = (x − 2)3
x+1
なので固有値は 2 のみである．その固有空間は




2 −1 1
 2 −1 1 




B − 2E = −2 1 −1 −→ 0 0 0




0 0 0
−6 3 −3
より次元はであり，固有値 2 に対するジョルダン細胞は 2 つである．よってジョルダンの標準形は J(2, 1) ⊕
J(2, 2) である．
このジョルダンの標準形を与える行列を作るには次のようにする．まず Ker(B − 2E)2 \ Ker(B − 2E) からベク
トル q をとる．(A − 2E)q ∈ Ker(B − 2E) = V(2), (B − 2E)q
0 と dim V(2) = 2 より p ∈ V(2) を {p, (B − 2E)q}
)
が V(2) の基底になるようにとる．すると P = p (B − 2E)q q によって P−1 BP = J(2, 1) ⊕ J(2, 2) となる．
(
具体的には
 
1
 
q = 0 ,
 
0
 
 2 
 
(B − 2E)q = −2 ,
 
−6
 
0
 
p = 1 ,
 
1


0 2 1


P = 1 −2 0


1 −6 0
【コメント】
• 固有値を求めること，固有空間を求めることは 1 年次の線形代数で学習済みだ．拡大固有空間の次元は
固有値の重複度なのでこれも固有値を求めた時点で決定できる．3 次の場合は命題 2.9 によってジョル
ダンの標準形が決定される．重複固有値を α として，この事情を表にまとめておく．重複度が 2 の時
はもう一つの固有値を β とする．
α の重複度
V(α) の次元
ジョルダンの標準形
3
1
J(α, 3)
3
2
J(α, 1) ⊕ J(α, 2)
問題 2.14 の右
3
3
J(α, 1) ⊕ J(α, 1) ⊕ J(α, 1)
対角化可能
2
1
J(β, 1) ⊕ J(α, 2)
問題 2.14 の左
2
2
J(β, 1) ⊕ J(α, 1) ⊕ J(α, 1)
対角化可能
備考
ジョルダン細胞の次数がすべて 1 の時が対角化である．対角化でないジョルダンの標準形が 3 種類ある
が，そのうち二つについては問題 2.14 で出題した．ジョルダン標準形にする行列の求め方は，解答例に記
述した．ジョルダンの標準形が J(α, 3) になる場合が残されたが，これは p ∈ Ker(A−αE)3 \Ker(A−αE)2
(
をとって P = (A − αE)2 p
(A − αE) p
)
p とすればよい．
• B では Ker(B − 2E)2 = KerO = C3 なので q ∈ Ker(B − 2E)2 \ Ker(B − 2E) は q
ある．しかし A では Ker(A + 3E) は 2 次元なので q
2
Ker(B − 2E) と同値で
Ker(A + 3E) と取るだけではだめだ．
• p の取り方について A では固有値 3 に対する固有ベクトルを取ればよい． B では V(2) の次元が 2 次元
なので単に基底を取るではいけない．(B − 2E)q ∈ Ker(B − 2E) = V(2) と合わせて V(2) の基底になるよ
うに選ぶこと．
【問題 2.16 の解答例】
表現行列 A = (ai j ) は
f (⃗p j ) =
m
∑
ak j ⃗qk
k=1
によって定義される．よって
m
m
∑
(
) ∑
φi f (⃗p j ) =
ak j φi (⃗qk ) =
ak j δik = ai j
k=1
k=1
【コメント】
• 表現行列の定義と双対基底の定義を組み合わせるだけの問題，易しいと感じてほしい．

Download Report