線形代数

線形代数学演習第二 (U クラス) 小テスト略解（11/6）
 
t4-1. 線形写像 f : R4


x
x−y+z+w




 y 
 x + 2z − w  で定
→ R3 を f 
 z  =
x + y + 3z − 3w
w
める。
(i): Ker f の基底と次元を求めよ。
(ii): Im f の基底と次元を求めよ。
配点：各 1 点、計 2 点
   
−2
1 


   

−1 2
答え： (i): 基底は 
,
 1  0 で、次元は 2.





0
1
   
−1 
 1



(ii): 基底は
1 ,
0  で、次元は 2.


1
1
t4-2. V を、x を文字とする高々 3 次の実数係数多項式全体のなすベクトル
空間とする。T : V → V を T (g(x)) = xg ′ (x) で定める。
(i): Ker T の基底と次元を求めよ。
(ii): Im T の基底と次元を求めよ。
配点：各 1 点、計 2 点
答え： (i): 基底は {1} で、次元は 1.
}
{
(ii): 基底は x, x2 , x3 で、次元は 3.
解説. (i): T (g(x)) = 0 となる高々 3 次の多項式を求めると、Ker T = ⟨1⟩ と
なり、結論がわかる。
(ii):
Im T = ⟨T (1), T (x), T (x2 ), T (x3 )⟩ = ⟨0, x, 2x2 , 3x3 ⟩
であり、次元についての公式より、Im T = dim V − dim Ker T = 3 がわか
解説. (i): f (x) = 0 となる x ∈ R を全て求めれば、Ker f が求まる。連立
るので、{0, x, 2x2 , 3x3 } のなかから一次独立になるように 3 つ選べば、0 は
方程式を解くと、自由度が 2 であり、これが次元となる。また、解の表示か
基底に選べないので、{x, 2x2 , 3x3 } となる。
ら、自動的に基底が求まる。
■コメント
4
(ii):
R4 の標準基底を {e1 , e2 , e3 , e4 } と書くことにする。Im f =
⟨f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 )⟩ であり、次元については、
dim Im f = dim R4 − dim Ker f = 4 − 2 = 2
であるから、{f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 )} の中から一次独立なものを 2 つ選
べば良い。
V の基底を答える問題なのに、答えが R4 のベクトルで書かれ
ているのは意味不明です。
(( ))
(
x
y
5x + y
2x + 4y
)
t4-3. f
=
で定まる f : R2 → R2 について、基底
{( ) ( )}
1
1
,
に関する表現行列を求めよ。
−2
1
配点：2 点
)
(
3 0
答え：
.
0 6
(
解説. 基底を a1 =
1
)
−2
, a2 =
( )
1
とおく。基底の行き先の座標を並べた
t4-4. V を、x を文字とする高々 3 次の実数係数多項式全体のなすベクト
ル空間とする。T : V → V を T (g(x)) = xg ′ (x) で定める。T の、基底
{
}
1, x, x2 , x3 に関する表現行列を求めよ。
配点：2 点

0
0
答え： 
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0

0
0
.
0
3
解説. 前問同様、基底の行き先の座標を調べると、
1
ものが表現行列になるので（理由はプリントを参照）。
(
f (a1 ) =
)
(
3
= a1
−6
より、結論を得る。
( )
) 3
a2
,
0
( )
(
6
f (a2 ) =
= a1
6
( )
) 0
a2
6
(
T (1) = 0 = 1 x
(
T (x) = x = 1 x
(
T (x2 ) = 2x2 = 1
(
T (x3 ) = 3x3 = 1
となるので、結論が従う。
 
0

)
0

x2 x3 
0 ,
0
 
0

)
1

x2 x3 
0 ,
0
 
0

)
0

x x2 x3 
2 ,
0
 
0

)
0

x x2 x3 
0
3

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