練習問題その９ (解答）問題 1. (i) 帰納法を用いて、λk が F k の固有値であることを示す。k = 1 のときは自明なので、k = r − 1 のときを正しいと仮定し、k = r のときを示せばよい。さて、u を λ に属する固有ベクトルとすると、 F r (u) = F r−1 (λu) = λF r−1 (u) = λ(λr−1 u) = λr u ため、命題が成り立つ。 (ii) λ を F の固有値とすると、(i) より、λk が F k の固有値であることが分かる。F k = 0 ため、λk = 0 を得るため、λ = 0 が成り立つ。 (iii) λ 6= 0 のとき、(ii) より、λ は F の固有値ではないので、ker(F − λ id) はゼロ空間であることが分かる。すなわち、F − λ id は単射である。このとき、 rank(F − λ id) = dim(V ) − null(F − λ id) = dim(V ) ため、F − λ id も全射であることが分かる。   −1 − t 0 −2     問題 2. (i) χF (t) = det  3 2−t 2  = (2 − t)(1 − t)2   1 −1 3 − t (ii) 定理 7 より、F の固有値は λ = 1 と λ = 2 である。 (iii) 計算すると、         −1         ker(F − idR3 ) = c  1 | c ∈ R ⊂ R3           1         −2         ker(F − 2 idR3 ) = c  1 | c ∈ R           3 を得る。特に、R3 が F の固有ベクトルからなる基底を持たない。 1 問題 3. Fa の固有多項式は、   1−t 1 a     χFa (t) = det  0 2−t a  = (1 − t)(2 − t)(a − t)   0 0 a−t である。a 6= 1 かつ a 6= 2 のとき、λ = 1、λ = 2 と λ = a は三つの互いに異なる固有値なので、系 10 より、R3 が Fa の固有ベクトルからなる基底を持つ。計算すると、   a     u1 = e1 , u2 = e1 + e2 , ua =  a    a−2 は、それぞれ λ = 1, λ = 2, λ = a に属する固有ベクトルであることを得る。 a = 1 のとき、λ = 1 と λ = 2 が全ての固有値である。計算すると、e1 , e2 − e3 は λ = 1 に属する固有ベクトル、e1 + e2 は λ = 2 に属する固有ベクトルであることを得る。特に、R3 が F1 の固有ベクトルからなる基底を持つ。 a = 2 のとき、λ = 1 と λ = 2 が全ての固有値である。計算すると、e1 は λ = 1 に属する固有ベクトル、e1 + e2 は λ = 2 に属する固有ベクトルである。さらに、F2 の λ = 2 に属するの固有空間は１次元である。よって、R3 が F2 の固有ベクトルからなる基底を持たない。 2