応用解析学、2014 年後期提出期限：2014 年 12 月 5 日（金）レポート問題下記の問題のうち、3 問選んで解くこと。ただし、欠席のある方は全問解くことを勧める。問題 1. 以下の偏微分方程式に対し特性多項式を書き、特性根を求めよ： 1. 波動方程式 utt − K∆u = 0 2. 弾性方程式 ρutt − α∆u − β∇div u = f 問題 2. (a) 1 次元波動方程式 ∂2u ∂2u (t, x) − (t, x) = 0 2 ∂t ∂x2 に対し、 R 上で定義される 2 つの関数 f と g が存在し解が u(t, x) = u(t, x) = f (x − t) + g(x + t) と書けることを示せ。ヒント： ξ = x − t, η = x + t の変数変換を行う。注意：関数 u が方程式の解であることを確認しただけでは問いの解答にならない。 (b) 式 1{ u(t, x) = ϕ(x − t) + ϕ(x + t) + 2 ∫ x+t } ψ(s) ds x−t を以下の 1 次元波動方程式に対する初期値問題の解の公式として導け： u = 0 (t, x) ∈ (0, ∞) × R, u(0, x) = ϕ(x), ut (0, x) = ψ(x). ヒント： (a) を用いて、初期条件から f と g の具体的な形を求める。問題 3. Hille-Yosida の定理の証明に現れる次の主張を詳細を述べながら示せ：「H をヒルベルト空間とする。{U (t)}t≥0 は H から H への作用素の族で、定数 C > 0 が存在し kU (t)xkH ≤ exp(Ct)kxkH をすべての x ∈ H に対し満たすものであるとする。さらに、H に稠密な部分集合 D のすべての元 x ∈ D に対し、U (t)x が t ≥ 0 において連続であるとする。そのとき、U (t)x はすべての x ∈ H に対し t ≥ 0 において連続である。」問題 4. バーガース方程式の初期値問題に対して、不連続性曲線に沿って衝撃波の条件を満たすような解を t > 0 において求めよ。解を特性曲線とともに図示せよ。ただし、バーガース方程式 ut + uux = 0 u(x, 0) = g(x) を初期条件のもとで解く。    0 g(x) = 1   0 in R × (0, ∞) for x ∈ R, x≤0 x ∈ [0, 1] x≥1