数学演習 IA・小テスト (5月28日分) 行列 A = (aij) の行列式の定義は

数学演習 IA・小テスト (５月２８日分)
行列 A = (aij ) の行列式の定義は
∑
∑
det A =
sgn(σ)a1σ(1) · · · anσ(n) =
sgn(σ)aσ(1)1 · · · aσ(n)n
σ∈Sn
σ∈Sn
であった. 以下の問いにそれぞれ答えよ. ただし電気情報の学生は, 1, 2 の代わりに
1∗ , 2∗ を答えよ.
1. n 次正方行列 A は n 個の縦ベクトルを横に並べた形 A = (a1 , . . . , an ) で表せる.
∑n
つまり, aj は基本ベクトル ei を用いて aj = i=1 aij ei と表せる. いま, A の実数値
関数 f (A) = f (a1 , . . . , an ) が次の２つの性質を満たすとする.
• 多重線形性: スカラー c, c′ に対して
f (a1 , . . . , cai + c′ a′i , . . . , an ) = cf (a1 , . . . , ai , . . . , an ) + c′ f (a1 , . . . , a′i , . . . , an ).
• 交代性: 置換 σ ∈ Sn に対して
f (aσ(1) , . . . , aσ(n) ) = sgn(σ) · f (a1 , . . . , an ).
(1) このとき,
f (A) = f
(∑
n
ai1 1 ei1 ,
i1 =1
n
∑
i2 =1
ai2 2 ei2 , . . . ,
n
∑
)
ain n ein
in =1
の右辺に多重線形性を用いて
f (A) =
n
∑
ai1 1 ai2 2 · · · ain n f (ei1 , ei2 , . . . , ein )
i1 ,...,in =1
を示せ.
(2) さらに f の交代性を用いて, f (A) = f (E) det(A) であることを証明せよ.
ここで E は n 次単位行列とする.
2. A と X を n 次正方行列とし, g(X) = det(AX) とおく.
(1) g(X) は多重線形性を持つことを示せ.
(2) g(X) は交代性を持つことを示せ.
(3) 1 を用いて det(AX) = (det A)(det X) を示せ.
1
3. 次を証明せよ.
(1) A, B を n 次正方行列としたとき,
A B = |A + B| × |A − B|
B A (2)
(3)
1
1
1
x2
x3
x1
2
x1
x22
x23
..
..
..
.
.
.
xn−1 xn−1 xn−1
1
2
3
···
···
···
...
∏
=
(xj − xi )
1≤i<j≤n
xn−1 1
xn
x2n
..
.
n
1 + x2
x
0
·
·
·
0
.. ..
2
x
.
1+x
x
. .
.
2
2n
..
..
0
x
0 = 1 + x + · · · + x
..
..
..
.
. 1 + x2
.
x 0
...
0
x
1 + x2 ただし左辺は n 次正方行列の行列式.
３次元空間内のベクトル x = (x1 , x2 , x3 ) と y = (y1 , y2 , y3 ) に対して, それらの
ベクトル積（外積）を x × y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) で定める.
1∗ . 以下を示せ.
(1) (x × y) · z = det(x, y, z). ただし x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 は通常の内積.
(2) (x × y) · z = (y × z) · x = (z × x) · y.
(3) (x × y) × z = (x · z)y − (y · z)x.
(4) (x × y) · z + (y × z) · x + (z × x) · y = 0.
√
2∗ . 以下を示せ. ただし, ベクトル x = (x1 , x2 , x3 ) の長さは x21 + x22 + x23 で与え
られる.
(1) x × y は x と y に直交する.
(2) x × y の長さは x と y の張る平行四辺形の面積に等しい.
(3) | det(x, y, z)| は x, y, z の張る平行六面体の体積に等しい.
2

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