2014.6.18 計算力学及び同演習演習 No. 9 演習 (A) 9-A-1 〔演習（2014.6.18 〆切）〕3 次元空間内の領域 Ω を占める，厚さ b = 1 の平面的な物体が平面応力状態にあり，変位と力のベクトル場が，それぞれ u = {u v}T と g = {g x gy }T のように与えられている．以下の各問に答えなさい． (1) ベクトル場 u と g の各成分を用いて，新たなベクトル場が      ug x   w=    vgy   で与えられるとき，ガウスの発散定理式（教科書の 24 ページの式 (2.46)）を用いて次の内積で作られるスカラー場に対する Green-Gauss の積分定理式を導きなさい．  ∂g   x       { }    ∂x   u v      ∂g y         ∂y つまり， ∫ { Ω  ∂g   x         ∫ { ∫ { ? ?     } } }       ∂x          dA = ds − dA u v  ? ?  u v                ∂g y  ? ?  Γ Ω       ∂y の形の公式を導きなさい． (2) 次のような 2 種類のベクトル場について，それぞれを (1) で求めた公式のベクトル場 g として代入して表しなさい．            σx   τ xy   ga =  , g =   b    τ xy    σy   } } { { ただし， u v に対応するベクトル場として， ga については δu δu を， gb について { } は δv δv を用いなさい． (3) 変位ベクトル u と次のベクトル場   ∂σ x ∂τ xy         +        ∂y   fx     ∂x  f = =     fy      ∂τ xy ∂σy        +   ∂x ∂y との内積 uT f に対して (1) で求めた Green-Gauss の式を適用して教科書の (6.61) 式の左辺を導きなさい（ただし，u∗ = u， b¯ = 0）． (4) ポアソン（Poisson）比がゼロで平面応力状態が仮定できる以下の構造物に， x 軸方向に一様な応力が作用するように，両端に荷重 P¯ を逆向きに与えた（すなわち，σ x のみが非ゼロの応力成分となっていて，変形も x 軸方向にしか生じない）．ヤング（Young）率を E として，変位で表した仮想仕事式（教科書の式 (6.6)）を求めなさい．ただし，y 軸方向の応力や変形の変化はないとして，y に関して積分を施した形で与えなさい．また，断面積には A を用いなさい． y x h P P O L b=1 断面積：A = bh=h