解析学 C 資料「L2(R) 上の Fourier 変換について」(H22.1.13) 1. f ∈ L 2

解析学 C 資料「L2 (R) 上の Fourier 変換について」(H22.1.13)
1. f ∈ L2 (R) の Fourier 変換 F f = fˆ とは：
fn ∈ S s.t. fn → f in L2 (R) (n → ∞) を取るとき，
F fn → F f in L2 (R) (n → ∞)
によって定める．また共役変換 F f を
F fn → F f in L2 (R) (n → ∞)
によって定める．
2. L2 (R) の関数に対する Fourier 変換は L2 (R) 上の等長変換である．次
が成り立つ．
• F , F は L2 (R) 上の全単射．
• F F = F F = L2 上の恒等変換, F −1 = F .
• ∥F f ∥2 = ∥f ∥2 , (F f, F g) = (f, g) (∀f, g ∈ L2 (R)).
2. もともとの L1 (R) 上の Fourier 変換との関係：
• f ∈ (L1 ∩L2 )(R) であれば，
L2 (R) 上の Fourier 変換は F f は L1 (R)
∫
f (x)e−iξx dx に (a.e. で) 一致する．
上の Fourier 変換
R
• fn ∈ (L1 ∩ L2 )(R) (n = 1, 2, · · · ), fn → f in L2 (R) (n → ∞) な
らば，
F fn → F f in L2 (R) (n → ∞).
ここで F fn は L1 (R) 上の Fourier 変換であることに注意．
とくに，f ∈ L2 (R) に対して
∫ R
∫
−iξx
f (x)e
dx =
χ(−R,R) (x)f (x)e−iξx dx → F f in L2 (R) (R → ∞).
−R
R
ここで
{
χ(−R,R) (x) =
1 (−R < x < R)
0 (x ≤ −R, R ≤ x)
1

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