第4章多自由度系の振動

第 4 章多自由度系の振動
第 4 章多自由度系の振動
畔上秀幸
名古屋大学情報科学研究科複雑系科学専攻
December 16, 2016
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第 4 章多自由度系の振動
はじめに
(目標) 多自由度系の運動方程式を満たす変位の解を詳しく調べる．まず，外
力が作用しないときの運動方程式 (自由振動) は固有値問題になり，その解は固
有対 (固有振動数と固有振動モード) で構成されることを学ぶ．そのあとで，外
力が作用したときの運動方程式 (強制振動) の解の求め方についてみていくこと
にする．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
§4.1 線形常微分方程式の基礎
多自由度系の運動方程式は 2 階 d 元連立線形常微分方程式で与えられ，自由
振動は固有値問題に帰着する．本論に入る前に，固有値問題の基礎事項をまとめ
ておく．d を自然数とする．
問題 4.1.1 (標準固有値問題)
A ∈ Cd×d に対して，
Ax = κx
(4.1.1)
を満たす x ∈ Cd と κ ∈ C を求めよ．
問題 4.1.1 を標準固有値問題とよび，その問題の解 κ ∈ C を固有値，x ∈ Cd
を固有ベクトル，(κ, x) を固有対とよぶ．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
式 (4.1.1) は，単位行列 I = (δij )ij ∈ Rd×d (δij = 1 (i = j), 0 (i ̸= j)) を用
いて，
(A − κI) x = 0Rd
(4.1.2)
ともかける．ここで，x = 0Rd は式 (4.1.2) を満たす．これを自明の解という．
自明の解を除く解は，
|A − κI| = 0
(4.1.3)
を満たす．式 (4.1.3) を特性方程式とよぶ．特性方程式は κ についての d 次の方
程式になる．
複素係数の d 次方程式の解は，d 個存在する (Kronecker の定理)．それらを
r ∈ {1, · · · , d} に対して κr ∈ C とかく． κr を r 次の固有値とよぶ．また，r
次の固有値のときの x の解を xr ∈ Cd を r 次の固有ベクトルとよぶ．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
標準固有値問題の解の形式についてみておこう．ここでは次の定義を用いる．
定義 4.1.2 (正定値実対称行列)
A = AT ∈ Rd×d とする．任意の x ∈ Rd に対して
2
x · (Ax) ≥ α ∥x∥Rd
(4.1.4)
を満たす α > 0 が存在するとき，A を正定値であるという．α ≥ 0 が存在する
とき，A を半正定値であるという．また，
2
x · (Ax) ≤ −α ∥x∥Rd
(4.1.5)
を満たす α > 0 が存在するとき，A を負定値であるという．α ≥ 0 が存在する
とき，A を半負定値であるという．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
定理 4.1.3 (標準固有値問題の解)
問題 4.1.1 において行列 A が次のような条件を満たすとき，r ∈ {1, · · · , d} 次
の固有対 (κr , xr ) はそれぞれ次のようになる．
1
2
3
A ∈ Rd×d (実行列) のとき，(κr , xr ) は実数か共役な複素数になる．
A = AT ∈ Rd×d (実対称行列) のとき，(κr , xr ) は実数になる．同様に，
T
A = (Ac ) ∈ Cd×d (エルミート行列) のとき，(κr , xr ) は実数になる．ま
た，r, p ∈ {1, · · · , d} に対して，κr ̸= κp のとき xr と xq は直交する．
A ∈ Rd×d が正定値実対称行列のとき，κr は正の実数となる．同様に，
A ∈ Rd×d が半正定値実対称行列，負定値実対称行列および半負定値実対称
行列のとき，κr はそれぞれ非負の実数，負の実数および非正の実数となる．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
(証明)
1
Axr = κr xr が成り立つとき，
c
c
Axcr = (Axr ) = (κr xr ) = κcr xcr
が成り立つ．そこで，κcr も解となり，κr = κcr が成り立つ．すなわち，
κr ∈ R である．
2
A = AT ∈ Rd×d (実対称行列) のとき，
(
)
κr xr · xcr = xcr · (Axr ) = xr · AT xcr = xr · (Axcr )
= xr · (κcr xcr ) = κcr xr · xcr
より，κr = κcr ∈ R を得る．さらに，固有値が一致すれば固有ベクトルも一
致して，xr = xcr ∈ Rd を得る．エルミート行列のときも同様となる．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
また，直交性は次のように示される．r ̸= p に対して，
Axr = κr xr ,
(4.1.6)
Axp = κp xp ,
(4.1.7)
が成り立つ．式 (4.1.6) の両辺に左から xT
p をかけて，式 (4.1.7) の両辺を
転置して右から xr をかけて，両式の差をとれば，A = AT より，
xp · (Axr ) − xp · (Axr ) = (κr − κp ) xp · xr = 0
(4.1.8)
となる．そこで，κr ̸= κp のとき，xp · xr = 0 となる．
3
A = AT ∈ Rd×d かつ任意の y ∈ Rd に対して式 (4.1.4) を満たす α > 0 が
存在するとき，
2
2
xr · (Axr ) = κr xr · xr = κr ∥xr ∥Rd ≥ α ∥xr ∥Rd > 0
2
が成り立つ．よって，∥xr ∥Rd > 0 より，κr ≥ α > 0 を得る．同様に，α が
非負の定数のとき，κr は非負の実数となる．
□
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
次に，一般固有値問題を考える．運動方程式は一般固有値問題の形式となる．
問題 4.1.4 (一般固有値問題)
A ∈ Cd×d と B ∈ Cd×d に対して，
Ax = κBx
(4.1.9)
を満たす x ∈ Cd と κ ∈ C を求めよ．
問題 4.1.4 を一般固有値問題とよぶ．その問題の解 κ ∈ C を固有値，x ∈ Cd
を固有ベクトル，(κ, x) を固有対とよぶ．
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固有値問題の基礎
式 (4.1.9) は，
(A − κB) x = 0Rd
(4.1.10)
ともかける．ここで，自明の解 (x = 0Rd ) を除く解は，特性方程式
|A − κB| = 0
(4.1.11)
を満たす．式 (4.1.11) は κ についての d 次の方程式になる．複素係数の d 次方
程式の解は，d 個存在して，そのときの解 (固有値) を r ∈ {1, · · · , d} に対して
κr ∈ C とかく．κr のときの式 (4.1.9) あるいは式 (4.1.10) を満たす r 次の固有
ベクトルを xr ∈ Cd とかく．
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固有値問題の基礎
定理 4.1.5 (一般固有値問題の解)
問題 4.1.4 において行列 A と B が次のような条件を満たすとき，
r ∈ {1, · · · , d} 次の固有対 (κr , xr ) はそれぞれ次のようになる．
1
B ∈ Rd×d が正定値実対称行列のとき，一般固有値問題 (問題 4.1.4) は標準
固有値問題
Cz = κz
(4.1.12)
となる．
2
さらに，A ∈ Rd×d が正定値実対称行列のとき，κr は正の実数となる．同様
に，α が非負の定数 (半正定値実対称行列) のとき，κr は非負の実数となる．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
(証明)
1
B ∈ Rd×d が正定値実対称行列のとき，ある左下三角行列 L が存在して，
Cholesky 分解 B = LT L とかける．このとき，z = Lx とおけば，
(
)
x · (Bx) = x · LT Lx = z · z
が成り立つ．そこで，式 (4.1.9) は，
AL−1 z = κLT z
( )−1 ( −1 )T
となる．この式の両辺に左から LT
= L
をかけれることによって
(
L−1
)T
AL−1 z = Cz = κz
(4.1.13)
とかける．
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
2
さらに，A ∈ Rd×d が正定値実対称行列ならば，式 (4.1.13) において
C = C T が成り立つ．また，任意の z ∈ Rd に対して，w = L−1 z とおけ
ば，A ∈ Rd×d が正定値対称であることから，
{(
} (
)T
) (
)
z · (Cz) = z · L−1 AL−1 z = L−1 z · AL−1 z
2
= w · (Aw) ≥ α ∥w∥Rd > 0
を満たす α > 0 が存在する．したがって，C は正定値実対称行列となり，
定理 4.1.3 の (3) より，κr は正の実数となる．同様に，α が非負の定数 (半
正定値実対称行列) のとき，κr は非負の実数となる．
□
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第 4 章多自由度系の振動
固有値問題の基礎
固有ベクトルは大きさ不定である．実際，(A − κr B) xr = 0Rd が成り立つと
き，任意の c ∈ R に対して，
(A − κr B) (cxr ) = 0Rd
が成り立つためである．そこで，大きさを決める必要がある場合には，次のよう
な定義が使われる．
1
xr = (xri )i に対して，
max
i∈{1,··· ,d}
xri = 1
(4.1.14)
と定義する．
2
B に対して，
xr · (Bxr ) = 1
(4.1.15)
と定義する．
式 (4.1.15) を満たす xr は正規固有ベクトルとよばれる．
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
§4.2 非減衰自由振動
これより，d 自由度系の運動方程式にもどって，非減衰自由振動の解
u (t) : R → Rd を求めることを考える．
d 自由度系の運動方程式は，非減衰のとき，質量行列 M ∈ Rd×d と剛性行列
M ∈ Rd×d を用いて，
M ü + Ku = 0Rd
(4.2.1)
とかけた (第 2 章)．式 (4.2.1) は同次形の線形常微分方程式である．この方程式
の一般解は，任意の ur ∈ Cd と λr ∈ C (r の意味はあとで示す) を用いて，
u (t) = ur eλr t
(4.2.2)
のように与えられる．ここで，式 (4.2.2) を式 (4.2.1) に代入すれば，固有方程式
)
( 2
λ r M + K u r = 0R d
(4.2.3)
を得る．
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
運動エネルギーの正定値性と対称性から M は正定値実対称行列となる．ま
た，ひずみエネルギーの半正定値性 (剛体運動が制限されていれば正定値性) と
対称性から K は半正定値実対称行列となる．そこで，式 (4.2.3) は係数行列が
半負定値の標準固有値問題にかきかえられる．したがって，定理 4.1.5 の (2) よ
り，r ∈ {1, · · · , d} に対して，λ2r ∈ R および ur ∈ Rd となり，
λ2r ≤ 0
(4.2.4)
を得る．これより，
λr = ±i ωr
(4.2.5)
となる．式 (4.2.5) と ur ∈ Rd を式 (4.2.2) に代入すれば，
u (t) = ur e±i ωr = ar ūr e±i ωr
(4.2.6)
となる．ここで，ūr は
ūr · (M ūr ) = 1
(4.2.7)
を満たす正規固有ベクトルとして，ar ∈ R は任意の定数とする．
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
実定数係数 d 元連立 2 階常微分方程式の同次形の一般解は，独立な 2d 個の実
数か共役な複素数からなる解の線形結合で与えられる．式 (4.2.6) の場合，e±i ωr
は共役な複素数なので，線形結合の任意の係数も共役な複素数となり，
∑ (
∑
)
[
]
u (t) =
ur ei ωr t + ucr e−i ω1 t =
Re ur ei ωr t
r∈{1,··· ,d}
=
∑
r∈{1,··· ,d}
ūr (ar cos ωr t − br sin ωr t)
r∈{1,··· ,d}
=
∑
ūr cr cos (ωr t + ϕr )
(4.2.8)
r∈{1,··· ,d}
となる．ただし，ar と br あるいは cr と ϕr は任意の実定数である．式 (4.2.8)
より，ωr を r 次の固有円振動数とよぶ．また，ūr ∈ Rd を r 次の正規固有振動
モードとよぶ．
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
例題 4.2.1 (2 自由度ばね質点系の自由振動)
図 4.1 のような 2 自由度ばね質点系の固有振動数と正規固有振動モードを求めよ．
u1
k
m
k
u2
m
k
図 4.1: 2 自由度ばね質点系
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
(解答) 図 4.1 のような 2 自由度ばね質点系の運動方程式は，第 2 章の問題 2.4.2 (2 自
由度ばね質点系) と同様に，Lagrange の運動方程式から
(
)( ) (
)( ) ( )
2k −k
0
m 0
ü1
u1
+
=
(4.2.9)
0 m
ü2
−k 2k
u2
0
のように得られる．ここで，一般解を
(
) ( )
u1 (t)
ur1 λr t
=
e
u2 (t)
ur2
とおく．式 (4.2.10) を式 (4.2.9) に代入して，固有方程式
(
(
)
(
)) ( ) ( )
1 0
2
−1
u1
0
λ2r m
+k
=
0 1
−1
2
u2
0
(4.2.10)
(4.2.11)
を得る．これより，特性方程式は
(
)
(
)
2
)2
−1 ( 2
λr m 1 0 + k 2
= λr m + 2k − k2
0 1
−1
2
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
= m2 λ4r + 4mkλ2r + 3k3 = 0
となる．そこで，
λ2r =
−2mk ±
√
4m2 k2 − 3m2 k2
k
= (−2 ± 1)
⇒
m2
m
{
λ21 = −k/m
λ22 = −3k/m
となる．λr = ±i ωr より，1 次と 2 次の固有円振動数は
√
√
k
3k
ω1 =
, ω2 =
m
m
となる．
(
)T
1 次の固有振動モード u1 = u11 u12
は，λ21 = −k/m を式 (4.2.11) に代入する
ことによって得られる．すなわち，固有振動モードは大きさ不定であるので，u11 = 1 と
おけば，
(
)( ) ( )
( ) ( )
k
−k
1
0
u11
1
=
⇒ u12 = 1 ⇒
=
−k
k
u12
0
u12
1
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
(
)T
となる．2 次の固有振動モード u2 = u21 u22
は，λ22 = −3k/m を式 (4.2.11) に代
入することによって
(
)( ) ( )
( ) ( )
−k −k
1
0
u21
1
=
⇒ u22 = −1 ⇒
=
−k −k
u22
0
u22
−1
となる．図 4.2 に u1 と u2 による振動の様子を示す．1 次と 2 次の固有振動モードを正
規化すれば，
(
(
u11
u12
u21
u22
となる．
)T (
)T (
m
0
m
0
)( )
( )
( )
1
1
u11
ū11
= 2m ⇒
= √
,
u12
ū12
2m 1
( )
)( )
( )
1
0
u21
ū21
1
= 2m ⇒
= √
m
u22
ū22
2m −1
0
m
□
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第 4 章多自由度系の振動
非減衰自由振動
k
m
m
1
k
1
t
t
(a) モード 1 u1
k
m
t
2k
2k
1
−1
m
k
t
(a) モード 2 u2
図 4.2: 2 自由度ばね質点系の固有振動モード
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
§4.3 減衰自由振動
図 4.3 のような粘性減衰をもつ 2 自由度ばね質点系を考えてみよう．
u1
k2
k1
c1
m
c2
u2
k3
m
c1
図 4.3: 2 自由度ばね質点粘性減衰系
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
粘性減衰の場合には，Lagrange 関数
l (u, u̇) =
1
1
1
1
1
2
m1 u̇21 + m2 u̇22 − k1 u21 − k2 (u2 − u1 ) − k3 u22
2
2
2
2
2
と散逸関数
v (u̇) =
1
1
1
2
c1 u̇21 + c2 (u̇2 − u̇1 ) + c3 u̇22
2
2
2
を定義して，拡張 Lagrange の運動方程式
d ∂l
∂l
∂v
−
+
= 0R d
dt ∂ u̇ ∂u ∂ u̇
(4.3.1)
に代入することによって，運動方程式が得られる．実際，
m1 ü1 + k1 u1 − k2 (u2 − u1 ) + c1 u̇1 − c2 (u̇2 − u̇1 ) = 0,
m2 ü2 + k2 (u2 − u1 ) + k3 u2 + c2 (u̇2 − u̇1 ) + c3 u̇2 = 0
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
が得られる．行列とベクトルを用いてかきかえれば，
(
)( ) (
)( )
m1 0
ü1
c + c2
−c2
u̇1
+ 1
0 m2
ü2
−c2
c2 + c3
u̇2
(
)( ) ( )
k + k2
−k2
u1
0
+ 1
=
−k2
k2 + k3
u2
0
となる．
このように，d 自由度粘性減衰系の運動方程式は，一般粘性減衰行列
C ∈ Rd×d を用いて，
M ü + C u̇ + Ku = 0Rd
(4.3.2)
とかける．一般粘性減衰行列は，通常，正定値対称行列であると仮定される．
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
式 (4.3.2) は同次形の線形常微分方程式である．この方程式の一般解は，任意
の ur ∈ Cd と λr ∈ C を用いて，
u (t) = ur eλr t
(4.3.3)
のように与えられる．ここで，式 (4.3.3) を式 (4.3.2) に代入すれば，固有方程式
( 2
)
λr M + λr C + K ur = 0Rd
(4.3.4)
を得る．この固有方程式が自明の解以外の解をもつためには，特性方程式
2
λr M + λr C + K = 0
(4.3.5)
を満たす必要がある．式 (4.3.5) は λr について 2d 次の実数係数方程式になる．
その解は 2d 個存在する．
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
M と C の正定値性および K の半定値性を考慮すれば．式 (4.3.5) の解は，
非正の実数か実部が非正の共役な複素数となる．実際，λr = α + i β とおくと
き，式 (4.3.4) の両辺に対して，左から uT
r をかければ，
λ2r ur · (M ur ) + λr ur · (Cur ) + ur · (Kur )
(
)
= α2 − β 2 + i 2αβ ur · (M ur ) + (α + i β) ur · (Cur ) + ur · (Kur )
(
)
= α2 − β 2 ur · (M ur ) + αur · (Cur ) + ur · (Kur )
+ i {2αβur · (M ur ) + βur · (Cur )}
=0
となり，
α=−
ur · (Cur )
<0
2ur · (M ur )
が得られるからである．
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
特性方程式 (式 (4.3.5)) の解 λr のうち，0 は運動に寄与しない．負の実数の
とき過減衰となる．また，共役な複素数の場合は，
λr = −σr ± i ωrD
(4.3.6)
となる．このとき，σr > 0 を r 次のモード減衰率，ωrD を r 次の減衰固有円振
動数とよぶ．C が一般粘性減衰行列のときには，式 (4.3.6) の右辺を，1 自由度
系のときのような減衰比 ζr を用いた
√
− ζr ωr ± i ωr 1 − ζr2
の形式にかくことはできないことに注意する．ζr は実験モード解析で使われる．
のちに示す比例粘性減衰の場合はこのようにかけることになる．
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
特性方程式 (式 (4.3.5)) の解 λr がすべて共役な複素数の場合は，自由振動の
解は
)
∑ (
u (t) =
ur e(−σr +i ωrD )t + ucr e(−σr −i ωrD )t
r∈{1,··· ,d}
=
∑
[
]
Re ur e(−σr +i ωrD )t
r∈{1,··· ,d}
=
∑
ūr e−σr t (ar cos ωrD t − br sin ωrD t)
r∈{1,··· ,d}
=
∑
ūr cr e−σr t cos (ωrD t + ϕr )
(4.3.7)
r∈{1,··· ,d}
となる．ただし，ar と br あるいは cr と ϕr は任意の実定数である．
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
次に，C が M と K を用いて
C = αM + βK
(4.3.8)
とかける場合を考えよう．ここで，α と β は正の実定数とする．式 (4.3.8) が成
り立つとき，比例粘性減衰あるいは Rayleigh 減衰とよばれる．
比例粘性減衰のとき，固有方程式は実固有値問題になる．実際，式 (4.3.8) を
固有方程式 (式 (4.3.4)) に代入し，両辺を 1 + β でわれば，
( 2
)
λr + α
M + K ur = 0Rd
(4.3.9)
1+β
となる．そこで，比例粘性減衰のときの固有振動モード ur は非減衰のときの固
有振動モード (実ベクトル) と一致することがわかる．また，λr は非減衰の固有
円振動数 ωr と
− ωr2 =
λ2r + α
1+β
(4.3.10)
の関係をもつことになる．
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
式 (4.3.10) は
(
)
λ2r + α + βωr2 λr + ωr2 = 0
とかきかえられる．これより，
(
) √
2
− α + βωr2 ± (α + βωr2 ) − 4ωr2
λr =
√ 2
= −ζr ωr ± i ωr 1 − ζr2
= −σr ± i ωrD
(4.3.11)
とかけることになる．ただし，
α + βωr2
,
2
ωr
1
α+
β
ζr =
2ωr
2
σr = ζr ωr =
(4.3.12)
(4.3.13)
である．σr を r 次のモード減衰率，ζr を r 次のモード減衰比という．
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第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
例題 4.3.1 (2 自由度ばね質点比例粘性減衰系のモード減衰比)
図 4.3 のような 2 自由度系において，比例粘性減衰を仮定したときの 1 次と 2 次
のモード減衰比を求めよ．ただし，m1 = m2 , c1 = c2 = c3 および k1 = k2 = k3
をそれぞれ m, c および k とおく．
(解答) 図 4.3 の運動方程式は
(
)( ) (
)( ) (
m 0
ü1
2c −c
u̇1
2k
+
+
0 m
ü2
−c 2c
u̇2
−k
であった．そこで，
)
(
(
c 2k
2c −c
=
−c 2c
k −k
−k
2k
−k
2k
)( ) ( )
u1
0
=
u2
0
)
が成り立つことから，
α = 0,
β = c/k
32 / 33
第 4 章多自由度系の振動
減衰自由振動
となる．そこで，例題 4.2.1 の結果
√
√
λ1 = k/m, λ2 = 3k/m
を式 (4.3.13) に代入することによって，
c
ζ1 = √
,
2 mk
を得る．
√
3c
ζ2 = √
2 mk
□
33 / 33
4.4 強制振動



方法1 時間積分による方法
方法2 動剛性行列を利用する方法
方法3 固有振動モードを利用する方法
方法1：時間積分による方法

状態ベクトルを用いた運動方程式
状態ベクトル y(t)
 c m 
 x  t 
 k 0  
 x  t 
  f  t  
 



m 0  

0

m
x
t
x
t
0






  
 
  
 
 My  t   Ky  t   F  t   y  t   M 1  F  t   Ky  t  

陽解法:


tn における運動方程式から tn+1 = tn +Dt の解を評価す
る．
Euler 法, 中央差分法, Runge-Kutta 法
方法1：時間積分による方法(cont.)

陰解法



tn から tn+1 = tn +Dt の変化を内挿関数で近似し， tn+1
における運動方程式から tn+1 の解を評価する．
q 法, 線形加速度法(不安定), Newmark b 法,
Wilson q 法
線形加速度法の場合
mx  t   cx  t   kx  t   f  t 
1
x  tn  
x  tn  2  


c
k 2 

x  tn 1    m  Dt  Dt   f  tn 1   c  x  tn  
Dt   k  x  t n   x  t n  Dt 
Dt  
2
6
2
3

 



 
時間積分による方法の特徴

陽解法



利点：過渡応答に適する．各種非線形性を考慮でき
る．解析が落ちない．早い．
欠点：精度が悪い．
陰解法


利点：過渡応答に適する．各種非線形性を考慮でき
る．精度がいい．
欠点：収束しない場合に解析が落ちる．遅い．
方法2：動剛性行列を利用する方法

運動方程式を Fourier 変換する．
 w m  jwc  k  X w   F w 
2

B w  X w   F w 
w ごとに X(w) について解く．
X w   B 1 w  F w 


計算量が多い
X(w) について逆Fourier 変換する．
x  t   F-1  X w 
動剛性行列
動剛性行列を利用する方法の特徴

利点



狭周波数領域加振の応答に適する．
伝達関数を用いた部分構造合成法に利用される．
欠点


広周波数領域加振の場合に計算量が増加する．
各種非線形性を考慮できない．
方法3：モードを利用する方法




手順1：モード対を求める．
手順2：固有振動モードの直交性を利用して，物
理変位をモード変位に変換することによって運
動方程式を非連成化する．
手順3：非連成化されたモード変位の運動方程
式を解く．
手順4：そのモード変位を物理変位に変換する．
手順1：モード対を求める

固有方程式から固有振動数 lr と固有振動モー
ドベクトル Xr を求める．
l m  k  X  0
2

0  l 2  l12 , l22 , , lr2 , ln2  R  lr   jwn r   r  1, 2,

n
X

X
,
X
,
,
X
,
,
X

R

1
2
r
n
, n
正規固有モードベクトルの直交性

非減衰の正規固有モードベクトルは m正規直
交かつ k直交である．
 l m  k U    0
r
2
r

 U    mU     pq  U    kU    l p2 pq
p
q
p
なぜならば
q
左下三角行列
m  R nn , m  mT , x  mx  0 x  R n \ 0  m  LT L Cholesky 分解
 l m  k U
2
r
r 
0

L 
T
1
kL1 y  r   lr2 y  r  , y  r   LU  r 
 y    y    U    LT LU    U    mU     pq
p
q
p
q
p
q
手順2：変位をモード変位に変換


n 次元ベクトル空間の任意のベクトルは n 次元
ベクトル空間の n 個の独立なベクトルの線形結
合で与えられる．
正規固有振動ベクトル U(r) (r=1,2,, n) は n 次
元ベクトル空間の m-正規直交ベクトルであるの
で，それらは独立である．
手順2：変位をモード変位に変換
(cont.)

したがって，n 次元ベクトル空間で与えられた任
意の変位ベクトルは正規固有振動ベクトルの線
形結合で与えられる．
物理座標からモード座標への変換行列
1
 2
 x1  t   U1 U1

  1
 2
n
 x2  t   U 2 U 2
r  r 
x  t   U   t   

r 1

 
2
 xn  t    1

 U n U n 
物理変位
モード変位
n
1
U1     t  
   2 
 n
U 2    t  
  x t   U t 



n
 n 
U n     t  
正規モード行列
手順2：変位をモード変位に変換
(cont.)



運動方程式の変位をモード変位に変換する．
mx  t   kx  t   f  t  , x  t   U   t   mU   t   kU  t   f t 
UT を左から乗ずる．
U T mU  t   U T kU   t   U T f  t 
非連成の運動方程式を得る．
1 0
0 1



0 0

1
1 2
0
0    t   w n



0    2  t    0
w n 22

 


   n  
1  t   0
0

 
あるいは
1
1
0    t   U  f  t  

   2    2

t
U

f
t
0 
   
 
 







n
n
n
2







w n     t   U  f  t  
  r   t   wn r 2  r   t   U  r   f  t 
 r  1, 2,
, n
手順3：非連成の運動方程式を解く

例えば Fourier 変換を用いて解く．


非連成化された運動方程式を Fourier 変換する．
w 2   r  w   wn r 2   r  w   U  r   F w   r  1, 2, , n 
モード変位の Fourier 変換について解く．


r
w  
U  r   F w 
 r 2
wn
w
2
 r  1, 2,
, n
逆 Fourier 変換してモード変位に変換する．
  r   t   F 1  r  w  
 r  1, 2,
, n
手順4：物理変位に変換する

得られたモード変位を物理変位に変換する．
n
x  t    U   
r
r
t   U t 
r 1

あるいは，逆 Fourier 変換と座標変換の順序を
入れ替えて
伝達関数行列
U  U  
X  w    U  w     r  2
F w   GF w 
2
w
r 1
r 1 w n
n
r  r 
x  t   F 1  X w 
n
r
r T
比例粘性減衰に拡張する

手順1：非減衰の固有方程式を解く．
l 2  lr2  lr   jwn r   r  1, 2,
 l 2m  k  X  0  
r 
 r  1, 2, , n 
 X  X r  U
, n
正規固有モード

手順2：変位をモード変位に変換する．
x  t   U  t 

運動方程式の変位をモード変位に変換する．
mx  t    m  b k  x  t   kx  t   f  t 
 mU   t    m  b k  U   t   kU   t   f  t 
比例粘性減衰に拡張する(cont.)

UT を左から乗ずる．
U T mU  t   U T  m  b k U  t   U T kU  t   U T f  t 

モードの直交性から非連成運動方程式を得る．


  r   t     bwn r 2   r   t   wn r 2  r   t   U  r   f  t 

 r  1, 2,
, n
必要があれば，比例粘性減衰パラメータ , b をモード減衰比
z(r) に変換する．
 r 2
n
  bw
r 
r 
n
 2z w
 z
r 
  bwn r 2

2wn r 
 r  1, 2,
, n
比例粘性減衰に拡張する(cont.)

手順3：非連成の運動方程式を解く．

非連成化された運動方程式を Fourier 変換する．
w 2  j 2z r wnr w  wnr 2  r  w   U r   F w   r  1, 2, , n 

モード変位の Fourier 変換について解く．
U  r T
 w    r  2
F w 
r  r 
2
wn  w  j 2z wn w
r 

 r  1, 2,
, n
逆 Fourier 変換してモード変位に変換する．
  r   t   F 1  r  w  
 r  1, 2,
, n
比例粘性減衰に拡張する(cont.)

手順4：モード変位を物理変位に変換する．
n
x  t    U   
r
r
t   U t 
r 1

あるいは，逆 Fourier 変換と座標変換の順序を入れ
替えて
U  U  
X  w    U  w     r  2
F w   GF w 
r  r 
2
 w  j 2z w n w
r 1
r 1 w n
n
r  r
x  t   F 1  X w 
n
r
r T
伝達関数行列
一般粘性減衰に拡張する

運動方程式を状態ベクトルで表示する．
 c m   x   k 0   x  0 
 m 0   x    0  m   x   0 

  
   

 My  Ky  0,
 x
y 
 x
一般解の形を代入して固有方程式を得る．
 X  lt
y  Ve  
e
l
X


lt

 l M  K V  0
固有値
固有方程式
固有ベクトル
正定値対称実数行列正/負定値性のない実数対称行列
一般粘性減衰に拡張する

手順1：固有方程式を解く

実数標準固有値問題の固有値と固有ベクトル
l  lr (負の)実数か(実部が負の)共役な複素数
 X 
V  Vr   r 
lr X r 

共役な 2n 個の複素数ベクトル
Vr の M-直交性を考慮して正規化条件を加える．
W    MW     pq
p
q
正規固有モード
共役をとる
M  R 2 n2 n , M  M T , x  Mx  0 x  R 2 n \ 0
一般粘性減衰に拡張する(cont.)

手順2：物理状態ベクトルをモード状態ベクトル
に変換する．

強制振動の運動方程式
 c m  x  k 0   x   f 
 m 0   x    0  m   x   0 

  
   

 My  Ky  p,
x
y 
 x
物理ベクトル y をモードベクトル h に変換する．
1
2
y  W   ,W   ,
,W
 n
1
 2
,W ,W ,
 Z
Z   

    Wh ,
 Z  Z    
,W
 n   
l1 0  0 
0 l

2



 
 n 


,Z ,
0
0

l
n


  
 
1
2
Z   Z   , Z   ,
一般粘性減衰に拡張する(cont.)

WT の共役を左から乗ずる．
W T MWh  W T KWh  W T p

モードの直交性から非連成運動方程式を得る．
h  r   t    rh  r   t   V  r   p
 r  1, 2,
, 2n 
lr    r   jwd r   r  1, 2, , n 
r  
r 
r 
lr    jwd  r  n  1, n  2,


  r   t     r   jwd r    r   t   Z  r   f ,
, 2n 
  n  r   t     r   r  1, 2,
, n
一般粘性減衰に拡張する(cont.)

手順3：非連成の運動方程式を解く．


非連成化された運動方程式を Fourier 変換する．
 jw   r   jwdr   r  w   Z r   F w  , nr  w   r  w   r  1, 2,
モード変位の Fourier 変換について解く．
r 
Z
 F w 
r
nr 
r 
   w  
,

w




w   r  1, 2, , n 
r 
r 

j w  wd

 
逆 Fourier 変換してモード変位に変換する．
  r   t   F 1  r  w   ,
  nr   t     r   t 
 r  1, 2,
, n
, n
一般粘性減衰に拡張する(cont.)

手順4：モード変位を物理変位に変換する．
n
x t   
r 1


  t  
Z   t   Z   t    Z , Z  
  2Re  Z  t  
  t  
r  r 
r  r 

あるいは，逆 Fourier 変換と座標変換の順序を入れ
替えて
n

X w    Z    
r 1
r
r
 w   Z  r    r  w  
伝達関数行列


 r   r T
 r   r T
Z
Z
Z
Z
 F w   GF w 
 

r
r
r
r 
r 1  j w  w d
    j w  w d      


n

x  t   F 1  X w  



モードを利用する方法の特徴

利点



不要な高次/低次モードを省略すれば自由度数を大
幅に減少できる．
モード変位によって応答における各モードの寄与度
が評価できる．
欠点


固有値解析が必要である．
各種非線形性を考慮できない．
例題：２自由度ばね質点系

２自由度ばね質点系に外力 f1, f2 に対する変位
応答 x1, x2 をモードを利用して求めよ．
 m 0   x1   2k
 0 m   x    k

 2 
k   x1   f1 
     運動方程式

2k   x2   f 2 
１次正規固有モード
k
m
k
２次正規固有モード
 x1  t  


 x2  t  
1 1 1    t  
1   t     t  
 1

1 1   2  
2

2m 
2m   t     t  
   t  
1
モード行列
1
 2
座標変換
f1
x1
m
k
f2
x2
例題：２自由度ばね質点系(cont.)

運動方程式に座標変換を代入して，左からモー
ド行列の転置を乗ずる．
1 1 1  m 0  1 1  1  1 1 1   2k
 2   






1  1  k
1

1
0
m
1

1
2m 
2
m







 k  1 1   1 
 
2k  1  1  2  
1 1 1   f1 


 
2m 1  1  f 2 
１次固有振動数の２乗
0   1 
1 0 1  k m
1


0 1  2    0 3k m  2  
2m

   
  
２次固有振動数の２乗
 f1  f 2 
f  f 
 1 2
非連成化された運動方程式
例題：２自由度ばね質点系(cont.)

非連成化された運動方程式を解く．
 1
1
 f1 , w 1  k
12 1


w


1
1
  f  n

n
m
 2
2m

2   w 2 2 2   1 1  1 f1 , w 2   3k
n
n

m
 f2 
2m

Fourier 変換してモード変位について解く．
1
1
 1
1
 F1 
 2 1
F1 

12 1


1
1
  F 

 w   w n   2m 1 1 F2 
 2
2m w n12  w 2



1
1
1
F


 F1 

2 
2 2 
2 2  2 
1
 w   w n  

1

1


1

1

 F 

F 

 2  
 2
2m
2m w n2 2  w 2
例題：２自由度ばね質点系(cont.)

伝達関数行列の各要素を確認する．
1

 12
2
 1 
1  wn  w
  2  
1
2m 
 
  22
2
 w n  w
 X1 
1

 
2m
X2 
1

w n12  w 2   F1 
 
1   F2 

w n 22  w 2 
1
1 1   
1 1   2 
  

伝達関数行列
1
1


 w 12  w 2 w  22  w 2
1  n
n

1
1
2m 

 12
 22
2
2
 w n  w w n  w

w n12  w 2 w n 22  w 2 

1
1
  2 2

1 2
2
w n  w w n  w 2 
1

1
 F1 
   GF
 F2 
例題：２自由度ばね質点系(cont.)

伝達関数行列を理論式に合わせて確認する．
 X 1   1 2m
    12
2
 X 2   wn  w
 1 2m
  12
2
 wn  w

1 1
1 2m

1 1
2 2
2

 wn  w
 1  1  F1 
 1 1   F 

  2 
1
1 2m
1
1

 
 2 2 2
1
wn  w

 F1 
1 
 1  1  
 1
 F2 
逆 Fourier 変換して変位を求める．
1
 x1 t   F  X 1 w  

   1



x
t
 2  F  X 2 w 

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