物理数学 II 第1回レポート

物
理
数
学
II
担当岡村隆
第 1 回レポート (16/6/10 出題；提出〆切 6/24 講義開始時)
1 Fourier 変換, Fourier 逆変換
[ ]
関数 f の Fourier 変換 fˆ = F f
とを, それぞれ次式で定義する：
∫ ∞
[ ]
1
fˇ(x) = F ∗ f (x) := √
dk e+ikx f (k) .
2π
−∞
−∞
ˇ
ˇ
以下の無限区間上の関数 f の Fourier 変換 fˆ と fˆ の Fourier 逆変換*1 fˆ とを求め, fˆ が f に一致するか調
[ ]
1
fˆ(k) = F f (k) := √
2π
∫
[ ]
と Fourier 逆変換 fˇ = F ∗ f
∞
dx e−ikx f (x) ,
べよ. なお, Fourier 変換が存在しない場合はそう答えよ. また, 定数 a は, 正の実部をもつ複素数とする.
{
−ax
(1) f (x) = e
(2) f (x) =
e−ax
0
for x > 0
for x < 0
(3) f (x) = e−a|x|
2 Fourier 変換の応用：波動のエネルギー
1 次元空間を伝搬する波動が, 方程式
(
)
1 ∂2
∂2
− 2 2 + 2 ϕ(t, x) = 0 ,
c ∂t
∂x
に従うとする. 波が伝わることで, エネルギーが運ばれているはずであるが, 波のエネルギーはどのように定義
するべきであろうか. ここでは, この方程式に従う波のエネルギーを発見法的に定義しよう.*2 以下では, 波動
場 ϕ(t, x) の空間座標に関する Fourier 変換
1
ϕ̂(t, k) = √
2π
∫
∞
dx e−ikx ϕ(t, x)
−∞
を, しばしば ϕ̂k (t) と略記する（定義より, ϕ̂k (t) は一般に複素数の値をとる）. なお, 以下では簡単のために,
ϕ(t, x) は, t と x のそれぞれについて, 十分滑らかであるとする.
(1) ϕ̂k (t) が従う方程式を求めよ.
(2) 次式で定義されるエネルギースペクトル密度が保存量であることを示せ. なお, ωk := c |k | とする*3 ：
2
2
∂
ϵ(k) := ϕ̂k (t) + ωk2 ϕ̂k (t) ∂t
(3) Fourier 変換可能な非常に性質の良い関数 f (x), g(x) に対し, 次式が成り立つことを示せ：
∫ ∞
∫ ∞
dx f ∗ (x) g(x) =
dk fˆ∗ (k) ĝ(k) .
−∞
−∞
ここで, fˆ(k), ĝ(k) は, それぞれ f (x), g(x) の Fourier 変換である.
(4) 全エネルギーを,
∫
∞
E :=
dk ϵ(k)
−∞
と定義する. 前小問の結果より, これは保存量なので, 全エネルギーと呼ぶに相応しい.*4
前小問の結果を利用して, この全エネルギーを, ϕ̂k (t) ではなく ϕ(t, x) で表せ.
*1
*2
*3
*4
f ではなく, fˆ の Fourier 逆変換であることに注意.
非線形波動方程式に従う波など, より一般的な波のエネルギーは, 場を解析力学的に扱うことで統一的に定義される.
A(k) := (∂t ϕ̂k )2 + ωk2 ϕ̂2k も保存量だが, ϕ̂k は複素数なので A(k) も一般に複素数となる. よって, A(k) をエネルギースペクト
ル密度と呼ぶのは適当でない.
解析力学を用いると粒子系の全エネルギー（ハミルトニアン）を自然に定義できるように, （場の）解析力学によって場の全エネ
ルギーも自然に定義される（脚注 2 で述べたこと）. 結果は上記 E に一致する.
1
3 特性関数, 拡散方程式
ブラウン運動をする粒子 (以下, ブラウン粒子) は, たとえ初期位置が明確に定まっていても, 後の時刻にお
ける粒子の位置は確率的にしか予言できない. 時刻 t において, ブラウン粒子を位置 x に見出す確率密度を
p(t, x) としたとき, その時間発展は拡散方程式に従うものとする：
∂p(t, x)
∂ 2 p(t, x)
=D
∂t
∂x2
(D > 0) .
(1) 時刻 t における粒子の位置の期待値 ⟨ x ⟩t , および分散
⟨
(∆x)2
⟩
t
を p をもちいた積分形で表せ.
(2) k を任意の実数として, 次の無限級数が存在すると仮定する：
∞
∑
(i k)n
q(t, k) :=
⟨ xn ⟩t .
n!
n=0
この q を, 確率密度 p の特性関数と呼ぶ. 特性関数 q が, 次式を満たすことを示せ：
q(t, k) =
⟨
eikx
⟩
t
.
これから明らかなように, 確率密度 p の Fourier 変換に他ならない.
(3) ⟨ xn ⟩t を q で表す公式をつくれ. （ヒント： ∂q(t, k)/∂k k=0 を計算せよ.）
(4) 小問 (2) の結果と (3.1) 式から, q の時間発展方程式を求めよ.
(5) 小問 (4) で求めた方程式を, q の t = t0 における初期値を q(t0 , k) として解け.
(6) 以上より, p(t, x) は, その初期分布 p(t0 , x0 ) から
∫
∞
p(t, x) =
−∞
dx0 G(t, x | t0 , x0 ) p(t0 , x0 ) ,
の形に表せることを示せ. また, G(t, x | t0 , x′ ) を与える積分を評価し, G を具体的に求めよ.
2
(3.1)

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