畳み込みのFourier変換はFourier変換の積

畳み込みの Fourier 変換は Fourier 変換の積
桂田祐史
2014 年 12 月 12 日 (間違えて 14 日と書いていた)
目標は、色々なものに対して、畳み込み f ∗ g と “Fourier 変換” Ff が定義できるが、すべての場
合に
F[f ∗ g] = 定数 × (Ff Fg) (畳み込みの Fourier 変換は、Fourier 変換の積)
が成り立つことを確かめること。
(f, g と f ∗ g はつねに同種のものであるが、f と Ff は違う種類のものになる場合もある。)
数列は Z 上の関数とみなせることを注意しておく。実際、数列 {fj }j∈Z があるとき、fj を f (j) と
書けば、数列は関数 f : Z ∋ j 7→ fj ∈ C とみなせることが分かるであろう。
1
普通の Fourier 変換
f を R を定義域とする関数 f : R → C とするとき、f の Fourier 変換 Ff (fb とも書く) は
∫ ∞
1
b
f (x)e−ixξ dx (ξ ∈ R)
Ff (ξ) = f (ξ) := √
2π −∞
で定義される。Ff : R → C である。
今日の講義では、この記号を基本として、他の “Fourier 変換” の記号をこれに真似て書くことにする。
f, g : R → C に対して、f と g の畳み込み f ∗ g を
∫ ∞
f ∗ g(x) :=
f (x − y)g(y)dy (x ∈ R)
−∞
で定める。f ∗ g : R → C である。
実は
F[f ∗ g](ξ) =
2
(結果は計算してみてのお楽しみ)
周期関数の “Fourier 変換” — Fourier 係数
∫ π
1
f : R → C を周期 2π の関数とするとき、cn :=
f (x)e−inx dx (n ∈ Z) を f の Fourier 係数と
2π −π
定義したが、これを (周期関数) f の “Fourier 変換” と呼ぶことにして、記号 Ff あるいは fb で表す
ことにしよう (この記号は実際に良く使われている)。すなわち
∫ π
1
b
f (x)e−inx dx (n ∈ Z)
Ff (n) = f (n) :=
2π −π
Ff : Z → C である。
1
周期 2π の関数 f, g : R → C に対して、f と g の畳み込み f ∗ g を
∫ π
1
f ∗ g(x) :=
f (x − y)g(y)dy (x ∈ R)
2π −π
で定める。f ∗ g : R → C は周期 2π である。
実は
F[f ∗ g](n) =
3
周期数列の “Fourier 変換” — 離散 Fourier 係数
N ∈ N に対して ω :=
e2πi/N
とおく。周期 N の周期数列 {fj }j∈Z
N −1
1 ∑ −nj
に対して、Cn :=
ω
fj
N
j=0
(n ∈ Z) を {fj }j∈Z の離散 Fourier 係数と定義したが、これを周期数列の “Fourier 変換” と呼ぶこと
にしよう。
f : Z → C を周期 N の関数 (周期 N の周期数列) とするとき、
N −1
1 ∑
b
Ff (n) = f (n) :=
f (j)ω −nj
N
(n ∈ Z)
j=0
で定まる Ff を、(周期数列) f の “Fourier 変換” と呼ぶ。Ff : Z → C は周期 N である。
周期 N の関数 (周期 N の周期数列) f, g : Z → C に対して、f と g の畳み込み f ∗ g を
f ∗ g(n) :=
N
−1
∑
f (n − k)g(k)
(n ∈ Z)
k=0
で定める。f ∗ g : Z → C は周期 N の関数である。
実は
F[f ∗ g](n) =
4
数列の “Fourier 変換” — 離散時間 Fourier 変換
数列 {xn }n∈Z に対して、X(ω) :=
∞
∑
xn e−inω (ω ∈ R) を {xn }n∈Z の離散時間 Fourier 変換と定
n=−∞
義したが、これを数列の “Fourier 変換” と呼ぶことにしよう。
f : Z → C に対して、
∞
1 ∑
f (n)e−inξ
Ff (ξ) = fb(ξ) :=
N n=−∞
(ξ ∈ R)
で定まる Ff = fb を (数列) f の “Fourier 変換” と呼ぶ。Ff : R → C は周期 2π である。
f, g : Z → C に対して、f と g の畳み込み f ∗ g : Z → C を
f ∗ g(n) :=
∞
∑
f (n − k)g(k)
k=−∞
で定める。
実は
F[f ∗ g](ξ) =
2
(n ∈ Z)

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