練習問題 No. 3(工事中)

画像処理とフーリエ変換練習問題 No. 3 (β版)
桂田祐史
katurada AT meiji.ac.jp
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/fourier/
2015 年 1 月 16 日
基本的に授業でやったことで、講義ノートに書いてあるものも多いです。次週までにデジタル・フィ
ルターの問題を追加するかもしれません (追加次第 WWW に載せて、Oh-o! Meiji で通知します)。
Fourier 変換
問 26. 都合の良い仮定 (関数の微分可能性、出て来る積分の収束や、微分と積分の順序交換、部分積
分など) をおいて、以下の性質を示せ。
(1) F[f1 + f2 ] = Ff1 + Ff2 , F[λf ] = λFf .
(2) Ff (ξ) = F ∗ f (−ξ), F ∗ f (x) = Ff (−x).
(3) a ̸= 0 とするとき F [f (ax)] (ξ) =
( )
1
Ff aξ .
|a|
(4) a ∈ R とするとき F [f (x − a)] (ξ) = e−iaξ Ff (ξ).
[
]
(5) F f (x)eiax (ξ) = Ff (ξ − a).
(6) F [f ′ (x)] (ξ) = (iξ)Ff (ξ).
(7)
d
Ff (ξ) = −iF [xf (x)] (ξ).
dξ
∫
∞
e−3x dx の値と、e−3x の Fourier 変換を求めよ。
−∞

1

(|x| < 3)
1
−3|x|
(2) Fourier 変換を求めよ。(i) e
(ii) 2
(iii) f (x) = sec 6

x +9
0 (|x| > 3)
問 27.
(宿題) (1)
2
2
(iv)
sin(3x)
3x
(以上は、一般的な形の公式を授業で与えたが、それを覚えて、それに当てはめて解答しても、期末
試験で評価しない。自分で式を導出できるようになっておくこと。(2) は順に解答すると、それほど難
しくないはず。Ff (ξ) = F ∗ f (−ξ) は使って良い。)
離散 Fourier 変換
問 28.
N ∈ N に対して、ω := e2πi/N とおくとき、以下の (1), (2), (3) が成り立つことを示せ。
(1) ω N = 1.
(2) m ∈ N, 1 ≤ m ≤ N − 1 ならば ω m ̸= 1.
{
N
−1
∑
N (m ≡ 0 (mod N ))
mj
(3)
ω =
0
(それ以外)
j=0
1
問 29.
N ∈ N に対して、

ω = e2πi/N ,
ω −0·0
ω −1·0
ω −2·0
..
.
ω −0·1
ω −1·1
ω −2·1
..
.


1 ( −(n−1)(j−1) )
1 

W =
ω
=
N
N


ω −(N −1)·0 ω −(N −1)·1 · · ·
U=
√
ω −0·(N −1)
ω −1·(N −1)
ω −2·(N −1)
..
.
···
···
···
..
.




,



ω −(N −1)·(N −1)
NW
とおくと、U は対称なユニタリ行列であることを示せ。また W −1 の成分を求めよ。
問 30.
f : R → C は周期 2π の周期関数であるとき、N ∈ N に対して、
h :=
2π
,
N
ω := eih = e2πi/N ,
とおく。n ∈ Z に対して
1
cn =
2π
を F (x) :=
∫
xj = jh,
2π
fj := f (xj )
(j ∈ Z)
f (x)e−inx dx
0
1
f (x)e−inx に関する台形則
2π


N
−1
∑
1
 1 F (x0 ) +
F (xj ) + F (xN ) h
2
2
j=1
で近似すると
N −1
1 ∑
fj ω −nj
N
j=0
となることを示せ。(これを授業では Cn と書いたけれど、板書では cn と紛らわしいので、あまり良
くなかったかもしれない。今更仕方がないので、今年度はこれで押し通す。)
問 31.
あって
2m+1 が
(宿題) 周期 T の関数 f が有限 Fourier 級数で定義できる、つまり {cn }m
n=−m ∈ C
f (t) =
m
∑
2π
cn ein T
t
(t ∈ R)
n=−m
−1
とする。このとき、ある N ∈ N が存在し、N 項離散 Fourier 変換 {Cn }N
n=0 は
Cn = cn
(0 ≤ n ≤ m),
CN −n = c−n
(1 ≤ n ≤ m),
Cn = 0
(m < n < N − m)
を満たすことを示せ。(つまり有限 Fourier 級数に対しては、離散 Fourier 変換で求めた係数は誤差が
無く、もとの関数が完全に再生できる。)
離散時間 Fourier 変換
結果が周期 2π の関数になることと、反転公式くらいは押さえておこう。実質的に Fourier 級数の裏
返しである。
2
問 32.
f: Z→C が
∞
∑
|f (n)| < ∞
n=−∞
を満たすとき
∞
∑
fb(ω) :=
f (n)e−inω
(ω ∈ R)
n=−∞
が収束し、ω について周期 2π の関数となることを示せ。さらに
∫ π
1
fb(ω)einw dω (n ∈ Z)
f (n) =
2π −π
が成り立つことを示せ。
サンプリング定理
(狙っているのだけど、問題が思いつかないな…)
畳み込み
問 33.
∫
R 上定義された関数の畳み込み f ∗ g(x) =
∞
−∞
f (x − y)g(y) dy (x ∈ R) について、適当な仮
定をおいて (あるいは積分の収束の条件などはとりあえず放置して)、以下の公式を示せ。
(1) (f1 + f2 ) ∗ g = (f1 ∗ g) + (f2 ∗ g), (λf ) ∗ g = λ(f ∗ g).
(2) f ∗ g = g ∗ f .
(3) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
(4) (f ∗ g)′ = f ′ ∗ g.
問 34.
次の各場合に F[f ∗ g] を計算して、Ff Fg の定数倍であることを示せ。
(1) f : R → C, g : R → C で、
∫
f ∗ g(x) =
∞
−∞
また F が普通の Fourier 変換、すなわち
1
Ff (ξ) = √
2π
f (x − y)g(y) dy
∫
∞
f (x)e−ixξ dx
−∞
(x ∈ R),
(ξ ∈ R)
である場合
(2) f : R → C, g : R → C が周期 2π の周期関数で、
∫ π
1
f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y)dy
2π −π
また F が Fourier 係数を対応させる写像、すなわち
∫ π
1
Ff (n) =
f (x)e−inx dx
2π −π
である場合
3
(x ∈ R),
(n ∈ Z)
(3) f : Z → C, g : Z → C が周期 N の周期数列で、
f ∗ g(n) =
N
−1
∑
f (n − k)g(k)
(n ∈ Z),
k=0
また F が (N 項) 離散 Fourier 変換、すなわち
Ff (n) =
N −1
1 ∑
f (j)ω −nj
N
(n ∈ Z),
ω = e2πi/N
j=0
である場合
(4) f : Z → C, g : Z → C が数列で、
∞
∑
f ∗ g(n) =
f (n − k)g(k)
(n ∈ Z),
k=−∞
また F が離散時間 Fourier 変換、すなわち
Ff (ω) =
∞
∑
f (n)e−inω
n=−∞
である場合
4
(ω ∈ R)

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