課題 5
I. (i) 写像
∫
w = w(z) =
0
z
√
dz
1 − z4
による {|z| < 1} の像を、説明もつけて決定せよ．
(ii) w = w(z) の逆写像 z = z(w) (z(0) = 0) の w = 0 における展開を計算
せよ（少なくともはじめの非自明な数項）．
(
)
z
e
−
1
II. f (z) = ez + 2z 2 − 1 = 2z 2 1 +
は |z| < 1 にいくつ零点をも
2z 2
つか，理由も説明して決定せよ．
III. f (z) が a で正則かつ f ′ (a) ̸= 0 とする．このとき f (a) の近傍におい
て w = f (z) の逆関数 z = g(w) が存在するが、それが
∫
zf ′ (z)
1
dw (ε > 0 : 十分小)
g(w) =
2πi |z−a|=ε f (z) − w
と表示できることを示せ．
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