xy 0 L hy dy W

応用力学同演習」問題(10)
学籍番号
2014.06.23
氏名
得点
Q1: 三角形の重心の，底辺から測った高さを以下の手順で求める．以下の問に答えよ．
(1) 底辺の長さが L，高さ h の三角形の，高さ y における横幅 W を求めよ(10)．
y
h
W
(2) 位置 y において，高さ dy の帯状の領域の面積は Wdy である．yWdy を 0 から
h まで積分せよ(10)．
dy
y
0
x
L
(3) 三角形の重心の高さは，(2)の積分値を三角形の面積で割ったものである．重心の高さを求めよ．
dx
Q2: 一様な密度を持つ高さ h の円錐形の重心はどの位置にあるか，
以下の考え方を用いて計算せよ
(1) 密度を，底面の半径を R とする．図の様に原点を取り，円錐
を小さな円板に分割する．座標 x にある厚さ dx の円板の質量
x
0
x
dm を求めよ(10)．
h
(2) 円錐の重心を求めよ(10)．ヒント：円錐の体積は V   R 2 h / 3 ．
Q3: 互いに万有引力を及ぼしあい，三次元空間で運動する質点 M1，M2 がある．
M1
R
M1，M2 の位置を r1，r2，M2 から見た M1 の位置を R と定義する．下の問に答えな
さい．万有引力定数を G とする． Rˆ (R 方向の単位ベクトル)を使って解答すること．
r1
z
r2
y
(1) M1，M2 の，原点から見た運動方程式をそれぞれ書きなさい．符号が間違って x
いるものは不正解(10×2)．
M1
d 2 r1

dt 2
M2
d 2 r2

dt 2
(2) (1)の結果を用い， r1  r2  R を使って R が従う運動方程式を求めなさい(10)．※ヒント： r1  r2  R
(3) (2)の結果から，換算質量 m*を使い， m*
MM
d2 R
 G 1 2 2 と表す．M2 から見た M1 が円運動をしてい
2
dt
R
るとき，その公転周期を m*を使い表しなさい(10)．
(4) (3)において M2>>M1 が成り立つとき，M1 の周期の近似式を示しなさい(10)．
M2

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