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問 v1 , v2 , · · · , vn が 1 次 独 立 で ，v, v1 , v2 , · · · , vn が 1 次 従 属 な ら ば v は
v1 , v2 , · · ·
µ
, vn の 1 次結合で書けることを証明せよ．
´
解答 仮定より，少なくとも 1 個は 0 でない n + 1 の実数 c, c1 , c2 , · · · , cn で，
cv + c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn = 0
を満たすものがある．もし c = 0 ならば，c1 , · · · , cn の中の少なくとも 1 つは 0 でなく，
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn = 0
となる．故に，v1 , v2 , · · · , vn が 1 次独立であることに矛盾する．よって c 6= 0 であり，
c1
cn
v = − v1 − · · · − vn
c
c
となるから，v は v1 , v2 , · · · , vn の 1 次結合で書ける．