数学１ー論理パズルの『論理』とはどういうこと？(2007/4/27) 担当：黒田覚今日のメニュー • 論理バズルの例 • 解法から「論理」のエッセンスを取り出す論理パズルとは 1 まずパズルの例を考えてみよう．世の中にはいろいろなパズルがあるが，その中に特に『論理パズル』と呼ばれるものがある．論理パズルではないパズルの例デモキアレスは人生の 14 を少年として過ごし， 15 を青年として， 13 を家長として過ごし，その後 13 年が経ちました．彼は何歳でしょうか？（西暦 310 年，ギリシャ，メトロドロスによる）論理パズルの例正直者の女性と嘘つきの男性には言えることなのに，正直者の男性と嘘つきの女性には言えないことは何でしょうか？問題 1 上の２つのパズルにはそれぞれ違った性質があります．その違いとはなんでしょうか？論理パズルとその解法 2 ではつぎに論理パズルの解法について考えてみよう．ただしまだパズルを解くことはしない．その代わりに，それらをどのように解けばいいかを考えて，その中にある『論理』のエッセンスを取り出してみよう． 2.1 または例題 1 ([1]) シンヤ，トミオ，ジュンジの３人について次のことがわかっている． 1. シンヤかジュンジのどちらかが，３人の中で最年長である． 2. トミオが最年長か，シンヤが最年少かのどちらかである．誰が最年長で，誰が最年少でしょうか？解答：２は２つのことを言っているが，そのうちのは１と矛盾していることに注意する．したがって，２が正しくなるためにはでなければならないので，最年長はである． 1 2.2 である・でない例題 2 ([3]) ある日の天気予報のコーナーで，気象予報士が血迷って『明日は晴れならば，晴れではないでしょう．』と言いました．ところが次の日になるとこの気象予報士の言ったことは正しかったことがわかりました．その日は晴れたでしょうか？これはつぎのいずれかを考えるとわかる．解法１：「∼である，または∼でない」ことはどんな命題∼についても必ず成り立つ（背中律）．解法２：「∼でない」ことを仮定して矛盾することを示す（背理法） 2.3 矛盾例題 3 ([2]) 女王様のジャムが盗まれました．犯行は単独犯によるものだということがわかっていて，容疑者は三月ウサギと頭のいかれた帽子屋とヤマネです．それぞれを取り調べたところつぎのような証言をしました．三月ウサギ「私は絶対にジャムなど盗んでいません．」帽子屋「私たち３人のうち１人がジャムを盗みました．でもそれは私ではありません」ヤマネ「ウサギと帽子屋のどちらか一方だけが本当のことを言っています」さらに調べたところ，三月ウサギとヤマネの少なくとも一方は嘘だということがわかりました．ジャムを盗んだのは誰でしょうか？解答：次のように考えてみよう．帽子屋の言ったことが本当だとすると，それからわかるのはヤマネは帽子屋の言っていることが嘘だとしてみよう，３人のうちの１人がジャムを盗んだ，かつ，盗んだのは帽子屋ではない．これが嘘だとすると，ウザギはだからヤマネはしたがっていずれにしても 2 ヤマネはということになる．ということはウザギはであり犯人は問題 2 ([2]) 今度は小麦粉が盗まれました．容疑者はまたさっきの３人です．３人とも証言しましたが，わかっているのは三月ウサギの「帽子屋が小麦粉を盗みました．」という証言だけでした．しかし調べた結果，犯人は３人のうちの１人だけで，本当だったのは犯人の証言だけだったことがわかりました．小麦粉を盗んだのは誰でしょうか？問題 3 ([2]) 実はコショウも盗まれていました．今度は女王様の料理人が疑われましたが，料理人は「私はコショウを盗んだ人を知っています」と証言しました．また調べたところ「コショウを盗む人は必ず嘘をつく」こともわかりました．さてこの料理人は有罪でしょうか，無罪でしょうか？問題 4 ([2]) さらに砂糖まで盗まれていました．今回の容疑者は公爵夫人と料理人の２人です．それぞれは次のように証言しました．公爵夫人「料理人は砂糖を盗みませんでした．」料理人「公爵夫人が砂糖を盗みました．」少なくとも犯人は嘘をついていました．砂糖を盗んだのはどちらでしょうか？また犯人でないもう一人は嘘をついたでしょうか？ 2.4 ならば例題 4 ある狂人が街頭で，道行く人に次のようなことを言っていました．これには論理的におかしなところがあるでしょうか？あるとすれば，それはなんでしょうか？自分は芸術家であるが，まったく評価されていない．でも偉大な芸術家だったゴッホやピカソだって最初はまったく評価されていなかった．だから自分もいずれ偉大な芸術家として名前を残すことになるだろう．だから自分の作品を買っておくといいよ． 3 解答：この狂人の言っていることを図式化すると，おおよそ次にようになるだろう．自分はかつ偉大な芸術家はだから自分はこの論証には問題があるのであるが，それはなんだろうか？参考文献 [1] レイモンド・スマリヤン著，スマリヤンの究極の論理パズル，白楊社 [2] レイモンド・スマリヤン著，パズルランドのアリス I ー不思議の国編，早川書房 [3] 林晋・八杉満利子著，論理パズルとパズルの論理，遊星社 4