対偶証明と背理法 間接証明というのは広い概念である。命題 示すのではなく， 「このような理由で、 が成立することを示すのに， 直接 の成立を が成立する以外にありえない」 ということを示すので ある。代表的な間接証明は対偶証明と背理法がある。 【対偶証明】 命題： 「 ならば である」の真偽と， その対偶命題： 「 致する。したがって［ ならば でなければ ］を証明するためには ［ でない」の真偽は一 でなければ でない］を証明 すればよい。対偶が成立することを示すことで，もとの命題が成立することを示す証明は， 直 接に［ ならば ］を証明するのではないので間接証明の一つであるといえる。 【背理法】 「 でないと仮定する。すると前提条件 と矛盾が起こる。したがって が成立する． 」 この ような証明法を 背理法という。しかし背理法は「対偶による証明」より応用が広い。 たい，しかし明示的には が書かれていない。このようなときにも の矛盾に持ち込めばいいからだ。 を示し を適切にとって何らか 千葉大（整数解の非存在証明） を素数， を 以上の自然数とするとき，方程式 は整数解を持たないことを証明せよ。 阪大（有理点を頂点とする正三角形） 次の各問いに答えよ。 は無理数であることを示せ。 平面上の点 は， がともに有理数のときに 有理点と呼ばれる。 平面において，三つ の頂点がすべて有理点である 正三角形は存在しないことを示せ。 一橋前期（放物線上の格子点） は整数で， をみたす。放物線 上に とはならないことを示せ。 ただし， のとき， となる組 点 ， ， が無理数であることを証明なしに用いてよい。 を すべて求めよ。 千葉（不定方程式の整数解の非存在証明） が 以上の整数のとき， を満たす整数 は 以外に存在しないことを証明せよ。 九州大（三角関数と方程式） 複素数 と，それに共役な複素数 に対し とする。 は整数を係数とするある三次方程式の解となることを示せ。 この三次方程式は 個の実数解をもち，そのいずれも有理数ではないことを示せ。 有理数を係数とする二次方程式で， をとる。 を解とするものは存在しないことを示せ。 一橋（対数と無理数） は無理数であることを示せ。 が有理数となる有理数 任意の正の整数 は に限ることを示せ。 に対して， は無理数であることを示せ。 京大後期文系（三角関数と無理数） は有理数か。 名大前期理系（積分と数列） を実数全体で定義された連続関数で， に， で を満たすものとする。 により 数列 に対し， となる とし，順 を定める。 であり，かつ となることを示せ。 が存在することを背理法を用いて示せ。 東大（ 次方程式複素定数の条件） となるどのような複素数 このとき， に属する複素数 に対しても で絶対値 とは表されない複素数 が最大になるような の値を求めよ。 の全体を とする。
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