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対偶証明と背理法
間接証明というのは広い概念である。命題
示すのではなく,
「このような理由で、
が成立することを示すのに, 直接
の成立を
が成立する以外にありえない」 ということを示すので
ある。代表的な間接証明は対偶証明と背理法がある。
【対偶証明】
命題:
「
ならば
である」の真偽と, その対偶命題:
「
致する。したがって[
ならば
でなければ
]を証明するためには [
でない」の真偽は一
でなければ
でない]を証明
すればよい。対偶が成立することを示すことで,もとの命題が成立することを示す証明は, 直
接に[
ならば
]を証明するのではないので間接証明の一つであるといえる。
【背理法】
「
でないと仮定する。すると前提条件
と矛盾が起こる。したがって
が成立する.
」 この
ような証明法を 背理法という。しかし背理法は「対偶による証明」より応用が広い。
たい,しかし明示的には
が書かれていない。このようなときにも
の矛盾に持ち込めばいいからだ。
を示し
を適切にとって何らか
千葉大(整数解の非存在証明)
を素数, を
以上の自然数とするとき,方程式
は整数解を持たないことを証明せよ。
阪大(有理点を頂点とする正三角形)
次の各問いに答えよ。
は無理数であることを示せ。
平面上の点
は,
がともに有理数のときに 有理点と呼ばれる。
平面において,三つ
の頂点がすべて有理点である 正三角形は存在しないことを示せ。
一橋前期(放物線上の格子点)
は整数で,
をみたす。放物線
上に
とはならないことを示せ。 ただし,
のとき,
となる組
点
,
,
が無理数であることを証明なしに用いてよい。
を すべて求めよ。
千葉(不定方程式の整数解の非存在証明)
が
以上の整数のとき,
を満たす整数
は
以外に存在しないことを証明せよ。
九州大(三角関数と方程式)
複素数
と,それに共役な複素数
に対し
とする。
は整数を係数とするある三次方程式の解となることを示せ。
この三次方程式は
個の実数解をもち,そのいずれも有理数ではないことを示せ。
有理数を係数とする二次方程式で,
をとる。
を解とするものは存在しないことを示せ。
一橋(対数と無理数)
は無理数であることを示せ。
が有理数となる有理数
任意の正の整数
は
に限ることを示せ。
に対して,
は無理数であることを示せ。
京大後期文系(三角関数と無理数)
は有理数か。
名大前期理系(積分と数列)
を実数全体で定義された連続関数で,
に,
で
を満たすものとする。
により 数列
に対し,
となる
とし,順
を定める。
であり,かつ
となることを示せ。
が存在することを背理法を用いて示せ。
東大( 次方程式複素定数の条件)
となるどのような複素数
このとき,
に属する複素数
に対しても
で絶対値
とは表されない複素数
が最大になるような
の値を求めよ。
の全体を
とする。