数学ⅠAスタンダードコース第5回論理と集合

数学ⅠＡスタンダードコース
第５回
論理と集合
１
100 以下の自然数の中で、2 の倍数を集合 A、3 の倍数を集合 B、5 の倍数
を集合 C とする。このとき、集合 A  B  C の要素の数を求めよ。
２
次の命題の逆・裏・対偶を求め、それらの真偽をいえ。
「 x = 2 ならば x 2 - 5x + 6 = 0 」
３
次の
の中に、以下の(ア)～(エ)の中から適切なものを選び
入れよ。ただし、 x 、 y は実数とする。
。
(１) x 2 = 2 は x = 2 であるための
2
2
(２) x + y = 0 は xy = 0 であるための
。
(３) x ＞ y であることは x 2＞ y2 であるための
。
(４) x = y = 2 は 2x - y = 2 y - x = 2 であるための
。
(ア) 必要条件である
(ウ) 必要十分条件である
(イ)
(エ)
十分条件である
必要条件でも十分条件でもない
４
次の各問いに答えよ。
(１)
2 は無理数であることを示せ。
(２) a 、b が有理数のとき、命題「 a + b 2 = 0 ならば a = b = 0 」が成り
立つことを示せ。
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【解答】
１
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) - {n(A  B) + n(B  C) + n(C  A)}
+ n(A  B  C)
ここで、
n(A) = 50 、n(B) = 33 、n(C ) = 20 、n(A  B) = 16 、 n( B  C ) = 6 、
n(C  A ) = 10 、 n(A  B  C) = 3
より、 n(A  B  C) = 74
２
逆
裏
対偶
x 2 - 5x + 6 = 0 ならば x = 2 (偽)[反例： x = 3 ]
x ¹ 2 ならば x 2 - 5x + 6 ¹ 0 (偽)[反例： x = 3 ]
x 2 - 5x + 6 ¹ 0 ならば x ¹ 2 (真)
３
(１)
(２)
(３)
(４)
p : x 2= 2
q:x =
2
x 2 = 2 のとき x = ± 2
\ p Þ q は偽
x=
\ q Þ p は真
2 のとき x 2 = 2
よって， p は q であるための必要条件であるから、(ア)
p : x 2 + y2 = 0 q : xy = 0
x 2 + y2 = 0 ならば x = 0 かつ y = 0 となるから xy = 0
\ p Þ q は真
xy = 0 ならば x = 0 または y = 0 となるから x 2 + y2 = 0 とは限らない
\ q Þ p は偽
よって， p は q であるための十分条件であるから、(イ)
p : x ＞ y q : x 2 ＞ y2
x = 1 、 y = -2 のとき x ＞ y であるが、 x 2 ＜ y2
\ p Þ q は偽
2
2
x = -2 、 y = 1 のとき x ＞ y であるが、 x ＜ y
\ q Þ p は偽
よって、いずれでもないから、(エ)
p : x = y = 2 q : 2x - y = 2 y - x = 2
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x = y = 2 のとき 2x - y = 2 y - x = 2 となる
2x - y = 2 y - x = 2 を解けば x = y = 2 となる
\ p Þ q は真
\ q Þ p は真
よって、 p は q であるための必要十分条件であるから、(ウ)
４
(１)
2 が無理数でないとすると、
有理数すなわち既約分数の形にかけて
2=
q
( p 、q は互いに素な整数)
p
両辺を平方して分母を払うと、 2 p2 = q 2
この式の左辺は偶数だから右辺 q 2 も偶数、よって q も偶数となる。
次に、整数 q¢ を用いて q = 2q¢ とおけるから
2 p2 = q 2 = 4q¢2 \ p2 = 2q¢2
上と同様にして、 p2 は偶数、したがって p も偶数となる。
ゆえに、 p 、q はともに 2 で割りきれることになり、互いに素であ
ることと矛盾する。
よって、 2 は無理数である。
(２)
b ¹ 0 とすると a + b 2 = 0 から、 2 = - a
b
a 、b が有理数のとき、上の式は右辺は有理数で、左辺の 2 は(１)
から無理数である。(矛盾)
\ b=0
このとき、 a = -b 2 = 0
よって、「 a + b 2 = 0 ならば a = b = 0 」が成り立つ。
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