1 電気通信系の成り立ち 1．

通信方式
第１章、序
1．1 電気通信系の成り立ち
C. E. Shannon の提唱した通信系のモデル。
（変換）
（変調）
送信機　情報源
物理量
アイデア
（復調）
伝送路
電気信号
（変換）
受信機
受信者
電気信号
種々の形態
雑音源
図1　電気通信系の成り立ち。最新のディジタル通信系も含め、すべての電気通信系は
6つの要素からなる。この講義では、この中の網かけ部分について扱う。
1．２電気通信の分類
伝送路による：
「有線通信」と「無線通信」
、有線は光ファイバ、無線は衛星通信でともに
ハイテク。
信号による：
「連続信号（アナログ）
」と「不連続信号（ディジタル）」
場所・位置による：
「２点間」と「１点→不特定多数（放送）」
最近では「多点⇔多点（双方向、放送と電話の融合）」（internet）
情報源の種類による：「電話（telephone）、電信（telegram）、ファクシミリ（facsimile）、ＴＶ
（television）、遠隔制御（telecontrol）、遠隔測定(telemetry）など」
第２章、信号とスペクトル
2．１フーリエ級数とフーリエ変換
有限区間で定義された関数、f( t ) ［ t 0 ≦ t ≦ t 0 + T ］、あるいは周期関数 f( t ) ＝ f( t + T )は、次のよう
な無限級数に展開した形で表現できる。
! 三角フーリエ級数：三角関数を基底として級数に展開する。
•
f (t) = a0 +
Â
n= 1
an cos n w 0 t + bn sin n w 0 t ，
(2-1）
ここで、w 0 = 2p は基本周波数である。また、各周波数成分の大きさを表す（フーリェ）係数、an、
T
bn は、三角関数の直交性から以下の式で与えられる。
t0+T
an = 2
T
f(t) cos (nw0t) dt ，
（2-2）
t0
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通信方式
t0+T
bn = 2
T
f(t) sin (nw0t) dt ，
（2-3）
f(t) dt ，
（2-4）
t0
t0+T
a0= 1
T
t0
" 指数フーリエ級数：複素指数関数を基底として、無限級数の形で表す。
•
f (t) =
Â Fn e j nw0t ，
n= - •
（2-5）
ここで、e j nw0t は角速度 nw0 で回転する複素ベクトルを表し、その大きさと位相は、
t0+T
F n= 1
T
f(t) e-jnw0t dt ，
（2-6）
t0
すなわち、Fn は一般に複素数である。
｛sin，cos｝とe j nw0t との間にはオイラーの関係があるので、
（2-1）式と（2-5）式のフーリェ係数との
間には、以下の関係が成り立ち、お互いに変換できる。
a 0 = F0, an = Fn + F-n ，
b n = j (Fn - F-n) ，
（2-7）
上記関係から、周期関数 f(t) は、w0 の整数倍の周波数（harmonics）をもった無限個の成分の和に等
しいことがわかる。すなわち、
f(t) ←→ ｛a0，a1，a2，a3，・・・・，b1，b2，b3，・・・｝
または、
f(t) ←→ ｛・・・F-3，F-2，F-1，F0，F1，F2，F3，・・・｝
のように、フーリェ係数のセットが、元の関数 f(t) と同一の内容と等価である。f(t) を信号、
｛｝の中身
を（離散）スペクトルと呼ぶ。
ただし、(2ｰ5)式から明らかなように、Fn は複素数であるため、振幅と、位相のスペクトラムがある。
すなわち、
F n = F n ej q n
，
（2-8）
と書いたとき、｛ F n ｝を振幅スペクトル、
｛qn｝を位相スペクトルとよぶ。
E1．負の周波数（例えば − 3w0）の意味について考察せよ。
E2．振幅のスペクトラムは偶関数、位相のスペクトラムは奇関数になることを示せ。
さて、次に、これから（特にディジタル変調のケースで）頻繁に用いる周期矩形（方形）パルス波形
について、その性質をまとめておこう。周期矩形パルスは、周期「ゲート関数」とも呼ばれ、アナロ
グ信号を標本化（サンプリング）する場合の数学的な取り扱いをする上で重要である。
2
通信方式
図2に、周期ゲート関数と、そのスペクトル
表示を示す。周期ゲート関数を式の形で表
すと、以下のようになる。
(-d £t£d )
2
2
f(t)=A
(-d <t£T-d ) ， (2ｰ9)
2
2
=0
（a）周期ゲート関数（時間領域）
これに対して、式（2-6）を使ってフー
リェ係数を求めると、
Fn = 1
T
-d + T
2
f (t) e - j nw0t d t
-d
2
= Ad
T
sin (nw0 d /2)
(nw0 d /2)
= Ad Sa
T
n p d ，
（2-10）
T
ここで、Sa(x) = (sin x) / x とした。この関
数は後に出てくる標本化定理において重
要で、標本化関数（sampling function）と
呼ぶことにする。一般的には、sinc 関数
とも呼ばれている。
さて、いま、周期 T を大きくしてやると、
図 2 に 3 つの例（T=1/4 → 1/2 → 1）に
みてとれるように、
（基本周波数）
2p → 小 T
（スペクトル強度）
Ad → 小
T
図2　周期ゲート関数とそのフーリェ係数の
スペクトル表示。
となる。すなわち、隣り合ったパルス波形がだんだん離れていって T →∞になった極限では、「孤立
したパルス」になり、もはや周期波や有限区間でのみ定義された関数ではなく、一般的な波形となる。
そのときには、図 2 の極限として、隣り合ったスペクトルの間隔はゼロになり（連続スペクトル）、ま
たスペクトル強度もゼロとなる。
そこで、全区間［−∞，∞］で意味のある任意関数に対して、
「スペクトル密度」が定義される。
F (w ) =
•
f (t) e
-•
-jwt
•
dt （フーリェ順変換）
，
f (t) = 1
2p
3
F (w ) e j w t d t （逆変換）
（2-11）
-•

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