4 2．2 通信工学でよく用いるフーリエ変換の性質

通信方式
2．2 通信工学でよく用いるフーリエ変換の性質
! 周波数移動性：任意の関数に、時間領域で各周波数 w0 である周期関数ejw0tをかけ算すると、対応す
るスペクトルの中心が w0 にシフトする。
f (t) ´ F (w) ならば f (t) ejw0t ´ F (w-w0) ，
(2-12)
我々が対象とする信号 f(t )は実関数であるので、周期関数として cos および sin に対して周波数移
動性を書き下すと、以下のようになる。
f (t) cos w0t ´ l F (w - w 0) + F (w + w 0)
2
f (t) sin w 0t ´ 1 F (w - w 0) + F (w + w 0)
2j
（2-13）
F(w )
f(t)
A
t
-d
w
d
0
2p
- d
2p
d
1
2 [F(w-w 0 ) + F(w+w 0 )]
f(t) cosw 0 t
A
t
-d
d
w
-w
0
w
0
図3　フーリェ変換の周波数移動性。三角波とcosをかけ算することによって、そ
のスペクトルが移動していることがわかる。
この性質は、振幅変調やキーイング法の基礎となる。
E 3. (2-12)、（2-13）式を確認せよ。
E 4. sin のときは、図の上ではどのように考えればよいか？
" 時間移動性：周波数移動性と相対の関係である。時間領域での遅延は、周波数領域において位相因
子の変化として現れる。
f (t) ´ F (w) ならば f (t - t0) ´ F (w ) e-jwt0 ，
（2-14）
この性質を用いて、伝送系が無歪みで信号を伝える条件を求めてみよう。図 4 に示すように、出力
波形が歪んでいないということは、対応する場所の振幅の比率がどこでも同じである（振幅歪みが
無い）こと、対応する場所の遅延がどこでも同じである（位相歪みがない）ことである。すなわち、
遅延時間を t0 = l/v （線路の長さ l 伝搬速度 v）とすれば、
4
通信方式
（2-15）
g (t) = k f t- l ，
v
となる。の両辺をフーリェ変換すると、
G (w ) = k exp -j w l
v
無歪み伝送系
f(t )
H(w )
t
F (w ) ，（2-16）
g(t )
t
h(t )
一定の遅延
ここで、四角で囲んだ部分が無歪み伝送系の
伝達関数になる。
H(w )
H(w) = k ,
–H( w ) = - l w ，（2-17）
v
すなわち、振幅特性は周波数に関係なく一
定、位相特性は周波数に比例する系が、無歪
み伝送系の備えるべき条件となる。
k
|H(w )|
w
0
∠H(w )
E 5. 無歪み伝送条件は他にどういう形で表さ
れるか？
図4　伝送系の無歪み条件。歪みについては
「時間領域」で考えた方が直感的である。
# 時間微分：関数を時間領域で微分すると、その影響が周波数領域では位相変化（j）と、振幅変化（w）
として現れる。
f (t) ´ F (w )
，
（2-18）
d f (t) ´ j w F (w )
dt
F (w) ×j で表示
p
f(t) = sin t
0
t
w
=-1
w0 = 1
-p
j w F ( w)
p
df
dt = cos t
w
t
0
=-1
w0 = 1
図4　信号の時間波形とスペクトル。
この関係は、周波数変調（FM）の復調を考えるときに用いる。
E 6. 積分器に通した出力のスペクトルはどうなるか？また、ラプラス変換における時間微分、時
間積分との対応を検討せよ（s ＝ s ＋ jw）。
$ 畳み込み(convolution)定理：この性質は頻繁に使われるのでよくマスターしておこう。2 つの関数、
f1、f2 について、それぞれ対応するスペクトルが以下で与えられるとする。
f1 (t) ´ F1 (w ) ,
f2 (t) ´ F2 (w ) ．
このとき、畳み込み積分（*）を次の式で定義すれば、
5
通信方式
f1(t )
•
f(t) * g(t) ∫
-•
f2(t )
d(t +T )
f(t) g(t-t) dt ．（2-19）
d(t -T )
A
-a
t
0
t
-T
b
0
T
このとき、時間畳み込み、
f1(t) * f2(t) ´ F1(w) F2(w) ，（2-20）
f1(t-t ) , f2(t )
t
と、周波数畳み込み、
f1(t) f2(t) ´ 1 F1(w ) * F2(w ) ，
（2-21）
2p
-T
からなる。
0
f1(t) * f2(t) ∫
図 5 は、畳み込み積分の概略を図の形で理解
する方法である。この方法によると、これか
ら度々出てくるインパルス関数（デルタ関
数）との間の畳み込み積分の結果が非常に分
かり易い。
t
T
•
-•
f1(t-t) f2(t) dt
2A
A
-T
0
t
T
図5　畳込み積分を図の上で実行するや
り方をマスターすると便利である。
E 7. 畳み込み積分は、交換、分配、結合の法則
を満足することを確かめよ。
%通信方式で重要な関数のフーリエ変換の具体例
1．直流信号（f(t) = A）
F (w ) =
•
-•
A e-jwt dt （→積分不可能）
そこで、フーリェ積分可能な関数の極限として求める必要がある。ここでは、ゲート関数 Gt (t) を
用いて t →∞として求めてみよう。
F (w ) = lim
•
t Æ•
t
- -2
-•
A Gt (t) e-jwt dt ，
（2-22）
f(t ) = A Gt (t)
f(t ) = A Gt (t)
A
A
0
t
t
-2
t
- -2
0
f(t ) = A
A
t
-2
t
t
0
w
F(　)
w
F(　)
F(　)
w
2p d(w )
2p
- t
At
0
2p
t
w
w
図 6 ゲート関数（単一矩形パルス）と、その極限としての直流信号。
6
w
通信方式
= lim A t Sa w t
tÆ•
2
= 2p A d (w ) ．
•
E 8.
•
Sa(x) dx =
-•
-•
（2-23）
sin x dx = p であることを使って、（2-23）式を求めよ。
x
2. 単位インパルス（d (t)）
F (w ) =
•
d (t) e-jwt dt = 1 ．
-•
（2-24）
2
f (t ) = e- t /2s
2
E 9. インパルス関数は、以下で示す標本化性、あ
るいは移動性があることを確かめよ。
•
-•
f (t) d (t-t0) dt = f (t0) ．
1
s=5
s=15
（2-25）
3. 正弦波（f (t) = cos w 0t, sin w 0t）
- 50
•
F (w ) = 1
ejw0t+e-jw0t e-jwt dt
2 -•
=1
2
•
e-j(w-w0)t dt+
-•
•
t
50
0
2 2
F(w) = 2p s e- s w /2
1
e-j(w+w0)t dt
s=1/15
s=1/5
-•
= p d (w -w 0)+d (w + w 0) ．（2-26）
2/2s2
4．ガウシャンパルス（f (t) = e-t
F (w ) =
•
-•
w
）
0
2/2s2 -jwt
e-t
e
dt ．（2-27）（→積分不可能）
いろいろな巧妙な方法により、以下の様になる。
F (w ) = s 2p e-s
2w2/2
．
図 7 ガウシャンパルスとそのスペクトル。
（2-28）
E10．
（2-26）式を部分積分することによって、 dF = -s 2 w F の微分方程式が得られることを確かめ、
dw
さらに、F(0) = s 2p であることを使って（2-28）式を導け。
E11．図 7 の結果と、量子力学における不確定性原理（DE Dt ≥ h、Dp Dx ≥ h）との関係は？
•
5. 周期関数（f(t) = f (t+T) =
Â
n = -•
F n ej nw 0t）のフーリェ変換。
7
通信方式
•
-•
•
=
•
Â
F (w ) =
Â
n = -•
=2p
n = -•
F n e j n w 0 t e - jw t d t
•
e-j
Fn
w - nw 0 t
dt
-•
•
Â
F n d (w -n w 0 ) ．
n = -•
（2-29）
E12．図 8 に示すような（時間に対する）周期インパルス関数のフーリェ変換は、周波数領域でも周
期インパルス（離散スペクトル）となる（dT (t) ´ w 0 dw0(w )）。
D ( w ) = w0 dw0 (w)
dT (t )
t
-2w0
-w0
0
w0
w
2w0
T
図8　周期インパルス関数とそのスペクトル。
2．3 標本化定理
ここで扱うのは、等標本化定理（uniform sampling theory）で、染谷・Shannon の定理とも呼ばれる。
連続信号を時間に対して離散化するときに用いられ、パルス変調理論の基礎となる。
（定理）周波数 fm［Hz］以上のスペクトル成分をもたない「帯域制限信号」は、1/ 2 fm ［sec］より短
い等間隔の標本によって、元の信号を一義的に表現できる。このとき、1/ 2 fm を、ナイキスト
(Nyquist) 間隔と呼ぶ。
以下、この証明と、重要な性質について考える。まず、サンプリングされた信号の情報（離散化され
た振幅値）を、
･･･f -2, f -1, f 0, f 1, f 2, f 3, ･･･
{ fn } :
とすれば、標本化された信号は
f (t)
•
fs(t) =
Â
n = -•
fn d (t-nT)
= f(t) dT (t) ，（2-30）
f0
f1
f2
f3
t
（2-30）式をフーリェ変換すれば、
T
F s(w ) = 1 F(w ) * w 0d w 0(w )
2p
図9　連続信号の離散化。
•
= 1 F(w ) * Â d (w -n w 0)
n = -•
T
=1
T
•
Â F (w -n w 0) ．
n = -•
f4
（2-31）
8

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