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写像 f の微分 df
電通大数学：山田
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記号： p ∈ Rn とする．
TR
n
Tp R
n
= {R のベクトル }
n
∪
TR =
n
Tp Rn
p∈Rn
= {R の始点が p のベクトル }
n
T は「tangent；接する」意味．
（「平面に接する」ことは「平面に含まれる」こと．
）
曲面 M に対しては
TM
= {M の接ベクトル }
Tp M
= {R の始点が p の接ベクトル }
n
TM =
∪
p∈Rn
ベクトルの和とスカラー倍は始点の同じもののみ考える．
各点 p で Tp M は線形空間
Tp M
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Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn ) | 各 xi ∈ R } とする．
各点 p で Tp Rn は線形空間．
例えば, xy 平面では Tp R2 は２次元（x1 = x, x2 = y ）で
{
}
∂
∂
Bp =
,
が基底
∂x at p ∂y at p
at はときどき略す 4/14
f :
で
R2
→
R3
(x1 , x2 )
7→
(X1 , X2 , X3 )
各 Xi = Xi (x1 , x2 )
は関数
f (p) = q （点 p が点 q に写る）
のとき、次の線形写像 df at p を f の p における微分という
df at p :
Tp R2
→
Tq R3 ベクトルを運ぶ
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f :
で
R2
→
R3
(x1 , x2 )
7→
(X1 , X2 , X3 )
各 Xi = Xi (x1 , x2 )
は関数
f (p) = q （点 p が点 q に写る）
のとき、次の線形写像 df at p を f の p における微分という
Tp R2
df at p :
意味
f :
(
→
)
R 内
p の近く
2
→
Tq R3 ベクトルを運ぶ
(
)
R 内
q の近く
3
の１次近似写像
q
p
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写像の構成：基底（Bp2 と Bq3 ）
Tp R
2
=
fi
∂
∂
,
∂x 1 p ∂x 2 p
を利用して
(
df at p
fl
fi
fl
∂
∂
∂
3
, Tq R =
,
,
∂X 1 q ∂X 2 q ∂X 3 q
)
∂
∂xi p
=
3
∑
∂Xj
j=1
∂xi
(p)
∂
∂Xj q
基底に関する表現行列で言えば
 ∂X

∂X
1
(p)
 ∂x 1

 ∂X 2
(p)

 ∂x 1

∂X 3
(p)
∂x 1
1
(p)
∂x 2


∂X 2

(p) （これを A(p) とする）
∂x 2


∂X 3
(p)
∂x 2
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一方、次の線形写像 f ∗ at p を f による引き戻しという
f ∗ at p :
Tq∗ R3
→
Tp∗ R2 コベクトルを引き戻す
写像の構成：基底（Bq∗ と Bp∗ ）
Tq∗ R3 = hdX 1 q , dX 2 q , dX 3 q i, Tp∗ R2 = hdx 1 p , dx 2 p i
を利用して
(
f ∗at p dXj q
)
2
∑
∂Xj
=
i=1
基底に関する表現行列で言えば
 ∂X
∂X
∂X
1
 ∂x 1

(p)
∂X 1
(p)
∂x 2
2
(p)
∂x 1
∂X 2
(p)
∂x 2
3
∂xi
(p) dxi p

(p)
∂x 1

t
 = A(p) （転置）
∂X 3
(p)
∂x 2
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→
定理 −
v ∈ Tp R2 と ω ∈ Tq∗ R3 に対して
→
−
∗
(fp ω)( v )
−
→
= ω(dfp( v ))
左辺は p ∈ R2 側での，右辺は q ∈ R3 側での計算メモ：コベクトルの引き戻しの応用で，微分形式も計量も引き戻せる．
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球面の等角投影
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Q
P
S
球面： S 2 = {(x0 , x1 , x2 ) ∈ R3 | x20 + x21 + x22 = 1 }
南極 S(0, 0, −1)
ψ :
R2
P(X, Y )
→
S 2 \{S}
→
直線 SP と S 2 の
S 以外の交点 Q
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球面： S 2 = {(x0 , x1 , x2 ) ∈ R3 | x20 + x21 + x22 = 1 }
南極 S(0, 0, −1)
ψ :
R2
P(X, Y )
式で書くと
ψ (X, Y ) =
(
2X
1+
X2
2
→
S 2 \{S}
→
直線 SP と S 2 の
S 以外の交点 Q
,
2Y
X2
+Y
1+
+Y
 
 

1−X −Y
2
2
,
2)
1 + X2 + Y 2

0
X
tX
−
→
→
−
 
 


直線 SP： OS + t SP =  0  + t Y  =  tY 
−1
1
t−1
球面との交わり (tX)2 + (tY )2 + (t − 1)2 = 1 で S 以外 (t 6= 0) は
2
t=
.
2
2
1+X +Y
(
ψ (X, Y ) =
2X
1+
X2
+Y
2
,
2Y
1+
逆算は
ψ
−1
X2
(
(x0 , x1 , x2 ) =
x0
1−X −Y
2
+Y
,
2
,
1 + X2 + Y 2
x1
)
1 + x2 1 + x2
特長
R2
S2
原点 O ／無限遠 ∞
北極 N ／南極 S
単位円 (cos θ, sin θ)
赤道 (cos θ, sin θ, 0)
単位円の内／外
北半球／南半球
2)
Q
P
S
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13/14
球面の計量の等角投影による引き戻し ψ
∗
(dx20
+
dx21
+
dx22 )
行列表示は
=
4
2
2
(dX
+
dY
) 2
2
1 + X + Y[
]
4
1 0
1 + X2 + Y 2 0 1
(ψ ∗ dx0 )2 + (ψ ∗ dx1 )2 + (ψ ∗ dx2 )2 と計算してよい．
プリントに計算してあります 14/14
球面の計量の等角投影による引き戻し ψ
∗
(dx20
+
dx21
+
dx22 )
行列表示は
=
4
2
2
(dX
+
dY
) 2
2
1 + X + Y[
]
4
1 0
1 + X2 + Y 2 0 1
つまり, 通常のユークリッド計量の f (X, Y ) =
4
1+
X2
+Y
2
倍．
だからこそ等角投影 −
−
参考：２つのベクトル →
v ,→
w のなす角 θ
−
−
h→
v ,→
wi
cos θ = →
,
−
→
−
k v k kwk
q
−
−
−
v ,→
vi
k→
v k = h→

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