「初級ミクロ経済学 3」(宮澤和俊) 第6講 2015/10/23 消費者行動の理論 (5) 支出最小化 消費者は,価格を所与として,ある効用水準を達成できる財の組合せの中か ら,消費支出が最小となるものを選択する. 1. 等支出線 財 1 の価格を p1 ,財 2 の価格を p2 とする.各財を x1 , x2 だけ消費すると きの消費支出 e は, e = p1 x1 + p2 x2 (1) である.消費支出 e が一定となる消費の組合せ (x1 , x2 ) の軌跡を等支出線と いう. 等支出線の性質 (1) 右下がり.傾き −p1 /p2 . (2) 支出水準 e が低いほど左下にある. 2. 支出最小化 目標とする効用水準を ū とする.消費者の支出最小化問題は次のように定式 化される. min x1 , x2 e = p1 x1 + p2 x2 subject to ū = U (x1 , x2 ) (2) 問題 (2) の主体的均衡は,図 2.20 の点 P で表される. 最適化の条件は, M RS21 = p1 p2 ū = U (x1 , x2 ) (3) (4) である. (4) 式は均衡が無差別曲線上にあることを意味する.(3) 式は均衡において, 等支出線と無差別曲線が接していることを意味する. (3), (4) 式を x1 , x2 の連立方程式とみなして解けば,均衡解 (x∗1 , x∗2 ) が求め られる. 3. 補償需要関数と支出関数 主体的均衡における消費量 x∗1 , x∗2 は,価格 p1 , p2 と効用水準 ū の関数となる. 補償需要関数(compensated demand function)という1 . x∗1 = d1 (p1 , p2 , ū) (5) x∗2 = d2 (p1 , p2 , ū) (6) 補償需要曲線 x∗1 = x1 (p1 ), x∗2 = x2 (p2 ) は右下がり(図 2.21).例外もあ る(例題 (2) 参照). 1 補償需要関数のことをヒックスの需要関数ともいう.効用最大化から導かれる需要関数 xi = Di (p1 , p2 , m) はマーシャルの需要関数という. 1 補償需要関数を (1) 式に代入すると,主体的均衡における消費支出も価格 p1 , p2 と効用水準 ū の関数となる.支出関数(expenditure function)という. e∗ = p1 x∗1 + p2 x∗2 = E(p1 , p2 , ū) (7) 支出関数は,一般的に,価格 p1 , p2 ,効用水準 ū の増加関数である. 例題 目標とする効用水準を ū とする.効用関数が次式で与えられるとき,補償需 要関数および支出関数を求めよ. 1 1 (1) U (x1 , x2 ) = x12 x22 © ª (2) U (x1 , x2 ) = min x31 , x22 略解 (1) 限界代替率を計算する. M RS21 u1 = = u2 1 1 1 −2 2 2 x1 x2 1 1 1 2 −2 2 x1 x2 = x2 x1 (3) 式より,p1 x1 = p2 x2 .これと,ū2 = x1 x2 から, x∗1 = x∗2 = µ µ p2 p1 p1 p2 ¶ 12 ¶ 12 ū ū が得られる.支出関数は, 1 e∗ = p1 x∗1 + p2 x∗2 = 2(p1 p2 ) 2 ū である. (2) 無差別曲線は (3ū, 2ū) を頂点とする L 字型の折れ線で表される2 .明らか に頂点において支出が最小となるので, x∗1 = 3ū x∗2 = 2ū である.支出関数は, e∗ = (3p1 + 2p2 )ū である. 講義資料 2 (2) http://www1.doshisha.ac.jp/˜kmiyazaw/ のような関数をレオンチェフ関数という. 2
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