第 1 回レポート問題位相幾何学 BI (担当: 新國) 2015 年 4 月 27 日 (月) 問題. 以下の大問 1 , 2 , 3 の全てに解答せよ. 講義で述べた各命題は用いて良い. 1 X, Y をそれぞれ集合とし, f : X → Y を写像とする. このとき, 次が成り立つことを示せ. (1) ある写像 g : Y → X が存在して, g ◦ f = idX が成り立つならば, f は単射であることを示せ. (2) ある写像 g : Y → X が存在して, f ◦ g = idY が成り立つならば, f は全射であることを示せ. (3) ある写像 g : Y → X が存在して, g ◦ f = idX , f ◦ g = idY が同時に成り立つならば, f は全単射で, 特に g = f −1 であることを示せ. 2 X, Y をそれぞれ位相空間とし, x0 ∈ X, y0 ∈ Y とする. いま, 位相空間対のある連続写像 φ : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) , ψ : (Y, y0 ) −→ (X, x0 ) が存在して, ψ ◦ φ ≃ idX (rel. {x0 }) , φ ◦ ψ ≃ idY (rel. {y0 }) が成り立つならば, φ が誘導する基本群の準同型写像 φ♯ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 ) は同型写像で, また, ψ が誘導する基本群の準同型写像 ψ♯ : π1 (Y, y0 ) −→ π1 (X, x0 ) は, φ♯ の逆写像であることを示せ. 1 3 R3 の部分集合 M を { } M = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 = 1, 0 ≤ x3 ≤ 1 で定義し, R3 の相対位相によって位相空間とみなす1 . このとき, M は単位円周 { } S1 = (x1 , x2 ) ∈ R2 | x21 + x22 = 1 とホモトピー同値であることを示せ.2 以上提出期限: 2015 年 5 月 11 日 (月) 16:35 直接の手渡し, もしくは郵送にて提出すること. 手渡しによる提出の場合は, 特段の理由のある場合を除き, 代理人による提出を認めない. 郵送による場合は, 2015 年 5 月 11 日 (月) 消印有効で, 以下の住所に簡易書留で郵送すること: 〒 167-8585 東京都杉並区善福寺 2-6-1 東京女子大学現代教養学部数理科学科新國亮宛レポート作成にあたっては, 別紙「レポートの書き方についての注意」を熟読すること. そこで指示された体裁が守られていないレポートは減点する. また, 2014 年 9 月 29 日 (月) に数学専攻の宮地晶彦先生から数理科学科在学生全員に送信されたメール (件名: 「数理科学科の学生の皆さんへ」) も改めて確認すること. 1M と同相な位相空間をアニュラスという . { } S1 を R3 の部分位相空間 (x1 , x2 , 0) ∈ R3 | x21 + x22 = 1 とみなし, 更に写像 r : M → S1 を, (x1 , x2 , x3 ) ∈ M に対し r (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , 0) で定義して, 講義における例 2 と同様の議論を辿ってみよ. 2 ヒント: 2 レポートの書き方についての注意 1. (数学に限らず) 一般にレポートを提出する際の注意 · 氏名, 所属学科及び専攻, 学生番号を書く · 講義のタイトル, 担当教員の名前も書くこれら最低限のことすら成されていないレポートを見ることがある. レポートには必ず表紙を付けて, そこに上記事項を記載すること. 使用する用紙のサイズは, 特に指定がなければ A4 もしくは B5 が良いだろう. 全ての用紙は, ホッチキス (ステイプラー) などを用いて必ずしっかりと綴じること. ゼムクリップ留めはダメ. · 課題 (問題) をきちんと記載する課題や問題が明記されているものは, それらもレポートに記載し, 解答と合わせて自己完結的に書くこと. ただ答えだけ書けば良いというものではない. · きれいに, かつ他者が読みやすいように書く努力をする無造作に書き殴っただけのレポートは, 読んで貰えないと思って良い. 読み手を説得する, あるいは納得させる努力を惜しまないことが大切である. · 締切厳守これは常識中の常識だが, 残念ながら締切を守れない学生もいる. 締切日時までに提出できないというやむを得ない理由がある場合は, 締切前に必ず担当教員にその旨を連絡し, 指示を仰ぐこと. 2. 数学のレポートを提出する際の注意 · 解答に至る経過を, 筋道を立てて論理的にきちんと記述する数学の問題に取り組み, それに解答する際には, どのように考え, どのような経過を辿って解答に行き着いたのかを, 他者が読んでわかるように書く努力をするべきで, 計算用紙をそのまま提出したようなレポートは論外である. このことは君たちが中高生のときに既に学んだはずのことであり, 大学で学び直すことではない. また, 解答がわからなかったからといって, 途中でいきなり解答するのをやめたまま提出するのもダメである. レポートは試験ではない. どこまで自分で考えて, どこがわからなかったのかまで具体的に書くべきである. レポートは試験とは違うので, 勿論, 人に聞いたり, 関連する情報を専門書等を利用して調べたりして構わない. また, 何人かの学生で議論を重ねたうえで, 1 つの解答が生まれるという場合だってあるだろう (むしろそのような相乗効果は歓迎する). とにかく考えられる手を尽くして最良のレポートを作成することを心掛けること. 一方, 自分で全く考えようともせず, 何かを丸写ししただけのレポートは, すぐにバレる. 多少, 文章や表現などを変えてあったとしても.