応用理工学類応用数学 I Quiz 6 解説
問１省略。
問２次の関数 f (x) のフーリエ変換 F (k) を求めよ。
(1)
f (x) = e−|x| sin(ax)
∫
(a ̸= 0)
∫
}
1 ∞ −|x| { (−ik+ia)x
F (k) =
e
e
sin(ax)dx =
e
e
− e(−ik−ia)x dx
2i −∞
−∞
∫ 0 {
∫
}
}
1
1 ∞ { (−1−ik+ia)x
(1−ik+ia)x
(1−ik−ia)x
=
e
−e
dx +
e
− e(−1−ik−ia)x dx
2i −∞
2i 0
[
]
[
]
1
1
1
1
1
1
−
−
+
=
2i 1 − ik + ia 1 − ik − ia
2i −1 − ik + ia −1 − ik − ia
{
}
1
1
1
1
1
−
−
+
（このままでよい）
=
2 k − (a − i) k + (a + i) k − (a + i) k + (a − i)
∞
−ikx −|x|
(2)
f (x) = xe−ax θ(x)
∫
[
∞
xe
F (k) =
−(a+ik)x
0
問３変数変換 t = ax + b, x =
∫
∞
g(ax + b)e
F (k) =
e−(a+ik)x
dx = x
−(a + ik)
(t−b)
a
−i(k−k0 )x
−∞
(a > 0)
]x=∞
∫
∞
+
0
x=0
e−(a+ik)x
1
dx = −
a + ik
(k − ia)2
をすることにより、
1
dx =
|a|
∫
∞
g(t)e
(
)
k−k0
−i
(t−b)
a
dt =
e
(
)
k−k0
i
b
a
|a|
−∞
(
G
k − k0
a
)
問４面白い応用例
(1) 次の関数のフーリエ積分表示を求めよ。
{
f (x) =
∫
1
F (k) =
e
−1
−ikx
[
e−ikx
dx =
−ik
]1
−1
(2) (1) の結果を用いて、
∫ ∞
sin k
π
(i)
dk
=
k
2
0
1 |x| < 1
0 |x| > 1
2 sin k
=
より f (x) =
k
∫
および
∞
(ii)
dk
0
となることを示せ。
∫
∞
−∞
sin k ikx
e dk
πk
cos k sin k
π
=
k
4
∫
2 ∞ sin k
sin k
dk =
dk
π 0
k
−∞ πk
(ii) は初等的なやりかたも出来るが、前問で x = 1 を入れれば Dirichlet の定理より
∫ ∞
∫
1
f (1 + 0) + f (1 − 0)
sin k ik
2 ∞ sin k cos k
=
=
e dk =
dk
2
2
π 0
k
−∞ πk
(i) は前問で x = 0 を入れることによって 1 = f (0) =
∫
∞