練習問題(14/10/2014)の解答

微分積分学 2 演習 (14/10/2014) 解答例
提出はそれぞれの問題の (1), (2) で充分ですが，すべての問題の解答を与えておきます。
練習 3.3 （教科書 p.91 問 3.8）次の関数の不定積分を求めよ。
√
log x
1
2
(1) x 1 + x2
(2)
(3) xex
(4) √
x
x(1 − x)
解答
(1) t = 1 + x2 とおくと，dt = 2xdx. したがって
∫ √
∫
1
1
1
2
x 1 + x dx = t1/2 dt = t3/2 + C = (1 + x2 )3/2 + C.
2
3
3
(2) t = log x とおくと dt =
dx
x .
∫
したがって
log |x|
dx =
x
∫
tdt =
t2
(log |x|)2
+C =
+ C.
2
2
(3) t = x2 とおくと，dt = 2xdx. したがって
∫
2
∫
xex dx =
(4) t =
√
2
et
et
ex
dt
=
+C =
+ C.
2
2
2
x とおくと，t2 = x, 2tdt = dx. したがって
∫
∫
√
2tdt
dx
√
√
=
= 2Arcsint + C = 2Arcsin x + C
t 1 − t2
x(1 − x)
練習 3.4 （教科書 p.91 問 3.9）次の定積分を求めよ。
∫ 1
∫ π/2
∫ 1
x
cos xdx
dx
(1)
dx
(2)
(3)
2
2
x + e−x
1
+
x
e
1
+
sin
x
0
0
−1
解答
(1) t = x2 とおくと dt = 2xdx で x が 0 から 1 に動くとき t は 0 から 1 を動くから，
∫ 1
∫
]1
xdx
1 1 dt
1[
1
=
= log(1 + t) 0 = log 2.
2
1
+
x
2
1
+
t
2
2
0
0
(2) t = sin x とおくと dt = cos xdx で，x が 0 から
∫
π/2
0
cos xdx
=
1 + sin2 x
∫
0
1
π
2
までを動くとき t は 0 から 1 までを動くので，
[
]1
π
dt
= Arctant 0 = .
1 + t2
4
(3) t = e とおくと dt = e dx で x が −1 から 1 まで動くとき t は e−1 から e までを動くので，
∫ 1 x
∫ e
∫ 1
dx
e dx
dt
=
=
= Arctan(e) − Arctan(e−1 )
x + e−x
2x + 1
2
e
e
1
+
t
−1
−1
−1
e
x
x
となり，これで終わりでもよいが，加法定理を使って
tan(A + B) =
tan A + tan B
1 − tan A tan B
から
(
)
e − e−1
tan Arctan(e) − Arctan(e−1 ) =
= sinh 1
1 + ee−1
であることを使って
∫
1
−1
dx
= Arctan(e) − Arctan(e−1 ) = Arctan(sinh 1)
ex + e−x
としてもよい．
練習 3.5 次の不定積分を計算せよ。
∫
∫
dx
√
(1)
x2 + 4
√
解答 t − x = x2 + 4 とおくと
(2)
(t − x)2 = x2 + 4,
また，
であり，したがって
∫
(2)
∴x=
√
x2
dx
+ 2x + 2
t2 + 4
t2 − 4
, dx =
dt.
2t
2t2
√
t2 + 4
x2 + 4 = t − x =
2t
dx
=
x2 + 4
∫
t2
√
2t t2 + 4
dt = log |t| + C = logx + x2 + 4 + C.
2
+ 4 2t
t = x + 1 とおくと x2 + 2x + 2 = y 2 + 1, dy = dx だから
∫
∫
√
√
dx
dy
√
√
=
= log |y + y 2 + 1| + C = logx + 1 + x2 + 2x + 2 + C.
2
2
x + 2x + 2
y +1

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